逆ゴールドバッハ予想

質問

仰々しいタイトルをつけてしまいましたが、次の予想を立てました

【逆的なゴールドバッハ予想】
13以上の奇素数は、2つの合成数の和で表すことができる。
また、この2つの数は互いに素である。

13=4+9,29=14+15,59=27+32

この予想は、たぶん合っていると思うのですが…
簡単に証明できる気がするのですが、行き詰まってしまいました。どなたか証明または否定証明できるでしょうか

●１つのヒント
すべての奇数2k+1は、２つの連なる数の和k+(k+1)で表すことができる。

したがって、
奇素数=(k-m)+(k+m+1)
の形で表すことができる。
このとき、右辺の2項のうち一方は偶数だから、もう一方の数が奇素数である必要はない

ということを証明できればよいのですが…
ちなみに、参考として2つの数a,kが互いに素(a,k)=1であるとき、(a,a+k)=1となります。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

「逆ゴールドバッハ予想」は
(GG1) 13以上の素数は2個の合成数の和で表せる。
(GG2) それら2個の合成数は互いに素である。
ということですね。
　しかし、(GG2)は(GG1)から直ちに出ます。(∵ p=a+bであるとき、或る1以上の数rでa,bがどちらも割り切れるならば、pもrで割り切れてしかもr≠pだから、pは素数ではない。）なので、(GG1)だけを証明すれば充分です。

　以下、変数は自然数の上だけで考えるものとし、素数の集合をPrと書く事にします。ここで言う合成数とは「0でも1でも素数でもない自然数」のことなので、最小の合成数は4ですね。そこで、(GG1)は次式で表せます。
(GG1)　　∀p((p∈Pr ∧ p≧13) ⇒ ∃a(a∉Pr ∧ a≧4 ∧ (p-a)≧4 ∧ (p-a)∉Pr))
この論理式の中の、∃a(…)の部分の否定を述語H(p)で表すことにすると、
　　H(p) = (∀a((p-4)≧a≧4 ⇒ (a∈Pr ∨ (p-a)∈Pr)))
と書けて、これを使うと(GG1)は
(GG1')　　∀p((p∈Pr ∧ p≧13) ⇒ ￢H(p))
とも表せます。

[1] ∀p(p≦7 ⇒ H(p))
　なぜなら、p≦7のとき、どんなaも(p-4)≧a≧4を満たさないからです。しかし、これは(GG1)とは関係ないですね。

[2] 以下、p≧8のときについて考えます。
　「(p-4)≧a≧4の範囲にある(p-7)通りのaのどれについても、aかp-aの少なくとも一方が素数だ」というのがH(p)の意味するところです。だから、(p-4)≧q≧4を満たす素数qが少なくとも (p-7)/2 個あることが、H(p)が成立つための必要条件です。集合Q(p)を
　　Q(p) = {q | (p-4)≧q≧4 ∧ q∈Pr}
と定義すると、この事は
　　∀p(H(p) ⇒ |Q(p)|≧(p-7)/2)
と表せます。( )内の対偶をとれば、
　　∀p(|Q(p)|＜(p-7)/2 ⇒ ￢H(p))
です。（ |・| は「集合の要素の個数」のことです。）

[3] よく知られているように、2と3以外のどんな素数qについても、 qに対してある自然数nが存在して、q=6n+1かq=6n-1の丁度一方を満たします。
　従って、|Q(p)|（(p-4)≧q≧4を満たす素数qの個数）は、「(p-5以下の6の倍数)の個数の2倍」よりも多くありません。ですから、
　　c(p) = (p-5)/3
という関数を使って（8以上の素数にだけ興味があるので）
　　∀p((p∈Pr ∧ p≧8) ⇒ c(p)≧|Q(p)|)
が言えます。（試しにp≧8の素数を小さい順に調べてみると、
　　c(11) = 2, Q(11) = {5,7}, |Q(11)|=2
　　c(13) = 2+(2/3), Q(13) = {5,7}, |Q(13)|=2
　　c(17) = 4, Q(17) = {5,7,11,13}, |Q(17)|=4
となり、確かにc(p)≧|Q(p)|であることが観察されますね。）

[4] 以上から、p≧8のとき、
　c(p)＜(p-7)/2
であるような素数pはH(p)を満たさないことが分かります。さてこの不等式は、移項して整理すれば
　　p＞11
と等価です。11の次に大きい素数は13だから、これを「p≧8のとき、p≧13であるような素数pはH(p)を満たさない」と書いても同じことで、すなわち
　　∀p((p∈Pr ∧ p≧8) ⇒(p≧13⇒ ￢H(p))
が分かりました。これは
(GG1')　　∀p((p∈Pr ∧ p≧13) ⇒ ￢H(p))
と同じことです。

かくて「逆ゴールドバッハ予想」は肯定的に解決された。（とか言っちゃって、「ほぼ自明」ですよね。）

補足

n=2k+3^2の形で考えればいいだけの話でしたね。考え方が参考になったので、この回答をベストにさせていただきます。
みなさまの回答タメになりました。ありがとうございます。P=2^m+3^nの形で表せる素数には、どんな特徴があるのか興味も湧いてきました。

回答No.1

ask-it-aurora

とりあえず傍証を．13以上1000未満の素数について主張は正しいです．
13 = 4 + 9
17 = 8 + 9
19 = 4 + 15
23 = 8 + 15
29 = 4 + 25
31 = 4 + 27
37 = 4 + 33
41 = 6 + 35
43 = 4 + 39
47 = 8 + 39
53 = 4 + 49
59 = 4 + 55
61 = 4 + 57
67 = 4 + 63
71 = 6 + 65
73 = 4 + 69
79 = 4 + 75
83 = 6 + 77
89 = 4 + 85
97 = 4 + 93
101 = 6 + 95
103 = 4 + 99
107 = 8 + 99
109 = 4 + 105
113 = 8 + 105
127 = 4 + 123
131 = 6 + 125
137 = 4 + 133
139 = 4 + 135
149 = 4 + 145
151 = 4 + 147
157 = 4 + 153
163 = 4 + 159
167 = 6 + 161
173 = 4 + 169
179 = 4 + 175
181 = 4 + 177
191 = 4 + 187
193 = 4 + 189
197 = 8 + 189
199 = 4 + 195
211 = 4 + 207
223 = 4 + 219
227 = 6 + 221
229 = 4 + 225
233 = 8 + 225
239 = 4 + 235
241 = 4 + 237
251 = 4 + 247
257 = 4 + 253
263 = 4 + 259
269 = 4 + 265
271 = 4 + 267
277 = 4 + 273
281 = 6 + 275
283 = 4 + 279
293 = 4 + 289
307 = 4 + 303
311 = 6 + 305
313 = 4 + 309
317 = 8 + 309
331 = 4 + 327
337 = 4 + 333
347 = 4 + 343
349 = 4 + 345
353 = 8 + 345
359 = 4 + 355
367 = 4 + 363
373 = 4 + 369
379 = 4 + 375
383 = 6 + 377
389 = 4 + 385
397 = 4 + 393
401 = 6 + 395
409 = 4 + 405
419 = 4 + 415
421 = 4 + 417
431 = 4 + 427
433 = 4 + 429
439 = 4 + 435
443 = 6 + 437
449 = 4 + 445
457 = 4 + 453
461 = 6 + 455
463 = 4 + 459
467 = 8 + 459
479 = 4 + 475
487 = 4 + 483
491 = 6 + 485
499 = 4 + 495
503 = 6 + 497
509 = 4 + 505
521 = 4 + 517
523 = 4 + 519
541 = 4 + 537
547 = 4 + 543
557 = 4 + 553
563 = 4 + 559
569 = 4 + 565
571 = 4 + 567
577 = 4 + 573
587 = 4 + 583
593 = 4 + 589
599 = 4 + 595
601 = 4 + 597
607 = 4 + 603
613 = 4 + 609
617 = 6 + 611
619 = 4 + 615
631 = 4 + 627
641 = 4 + 637
643 = 4 + 639
647 = 8 + 639
653 = 4 + 649
659 = 4 + 655
661 = 4 + 657
673 = 4 + 669
677 = 6 + 671
683 = 4 + 679
691 = 4 + 687
701 = 4 + 697
709 = 4 + 705
719 = 4 + 715
727 = 4 + 723
733 = 4 + 729
739 = 4 + 735
743 = 6 + 737
751 = 4 + 747
757 = 4 + 753
761 = 6 + 755
769 = 4 + 765
773 = 6 + 767
787 = 4 + 783
797 = 4 + 793
809 = 4 + 805
811 = 4 + 807
821 = 4 + 817
823 = 4 + 819
827 = 8 + 819
829 = 4 + 825
839 = 4 + 835
853 = 4 + 849
857 = 6 + 851
859 = 4 + 855
863 = 8 + 855
877 = 4 + 873
881 = 6 + 875
883 = 4 + 879
887 = 8 + 879
907 = 4 + 903
911 = 6 + 905
919 = 4 + 915
929 = 4 + 925
937 = 4 + 933
941 = 6 + 935
947 = 4 + 943
953 = 4 + 949
967 = 4 + 963
971 = 6 + 965
977 = 4 + 973
983 = 4 + 979
991 = 4 + 987
997 = 4 + 993