ゴールドバッハの予想に関する質問

質問

ゴールドバッハの予想に関する質問です．

ゴールドバッハの予想：　2n ＝ p ＋ q,　　n ≧ 3,　　p，q は奇素数です．

● 問１：　奇素数 p，q を p ≦ q として，奇素数 q を，ある値 Q（ q ＝ Q ）で固定します．　この時，2n ＝ p ＋ Q,　 p ≦ Q を満たす式の「個数」を計算する計算式は知られていますか？　知られているとすれば，どの様な計算式で「個数」が与えられますか？

● 問２：　2n ＝ p ＋ q　の　p，q を　p ≦ q として，かつ，p ＜ P,　 q ＜ P とします．　P は，p，q より大きい或る奇素数とします．いま，奇素数 P を或る値に固定した時，　P より小さい，すべての奇素数で構成される　2n ＝ p ＋ q　の式の全「個数」を計算する計算式は知られていますか？

問１，問２　の一つでも，ご存じの方，教えて下さい．よろしくおねがいします．

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

問１について

2n ＝ p ＋ Qなるnとpの組の個数は、p≦Qなる奇素数の個数に一致します。これをf(Q)と置きます。

（１) 　f(Q)を計算する簡単な数式があるかどうかは知りません。しかし、具体的なQに対して、Q以下の奇素数を数えればいいだけですから、f(Q)を計算することはできます。

（２）　Qが大きいとき、近似的に

　　f(Q)≒Q/log(Q)

です（素数定理）。

問２について

2n ＝ p ＋ q、p≦q<Qなるn、p、qの組の個数をg(Q)とします。

（１）　具体的なQに対しては、数え上げることにより、g(Q)を計算できます。

（２）　大きなQに対しては、素数定理により、

　　g(Q)≒∫[x = 3 to Q ]x/log(x)dx

と近似されるのではないでしょうか？

お礼

ご回答を，ありがとうございます．
大変，参考になりました．

補足

問２のご回答に，疑問は，残りますが・・・，締め切りとします．