回答がつかないのでお答えしますが、あんまりこの辺覚えてないのでよりベターな回答があるかもしれません。ミスももしあったらごめんなさい。。
あと写真が横向き+読み取りづらいので次からもう少し読みやすい感じにしていただけると幸いです(雰囲気でなんとなく読めましたが)
参考urlにある通り、 C^1級→全微分可能→偏微分可能 を利用するのがいいかなと思います
i) R^2全体で連続になるようなα
α>0 のときは、x=0またはy=0のときも f(x,y)=0=|xy|^α であるから、結局各(x,y)∈R^2に対し f(x,y)=|xy|^α である。よってf(x,y)はR^2全体で連続である。(α>0 に対し関数 φ(a)=a^α (定義域は a≧0) は定義域全体で連続であることに注意)
y≠0 とすると、 f(1,y)=|y|^α である。
α<0 のとき、y→0 とすると f(1,y)→+∞ であるから、f は (1,0) で連続でない。
α=0 のとき、 f(1,y)=1 であるから、 y→0 としても f(1,y)→1 一方 f(1,0)=0 であるから、f は (1,0) で連続でない。
以上より α>0
ii) R^2全体で全微分可能になるようなα
全微分可能ならば偏微分可能であり、 f_x(0,1)=lim_[h→0] (|h|^α/h) となるはずだが、
lim_[h→0] (|h|^α/h) が値をもつのは α>1 のときのみであるからα>1
α>1 のとき、x=0またはy=0ならばf_x(x,y)=f_y(x,y)=0 (計算省略)、x≠0かつy≠0なら f_x(x,y)=α|x|^(α-1)|y|^α, f_y(x,y)=α|x|^α|y|^(α-1)
結局各(x,y)∈R^2に対し f_x(x,y)=α|x|^(α-1)|y|^α, f_y(x,y)=α|x|^α|y|^(α-1) であるからf_x, f_yは連続。すなわちfはC^1級。
よってfは全微分可能。
以上よりα>1
