大至急、大学数学の偏微分の問題！

質問

画像の問2の問題がわからなくて困っています！よろしくお願いします！

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回答No.2

info222_

画像の文字が小さく不鮮明で問題文や式中の小さい文字を拡大しても文字が判読できず
解答作成ができません。

問1-1
f(x,y)=Arctan((x-y)/(1+xy)) なら
tan(f)=(x-y)/(1+xy)
fx*(sec(f))^2=(1+xy-(x-y)y)/(1+xy)^2
fx*(1+(tan(f))^2)=(1+y^2)/(1+xy)^2
fx*((1+xy)^2+(x-y)^2)/(1+xy)^2=(1+y^2)/(1+xy)^2
fx=(1+y^2)/((1+xy)^2+(x-y)^2)
=(1+y^2)/(1+x^2+y^2+x^2y^2)
=(1+y^2)/((1+x^2)(1+y^2))
=1/(1+x^2)

問1-2、3、問2、問3
問題文の小さな文字が判読できず解答作成不能です。

回答No.1

muturajcp

kを自然数,f(x,y)をR^2上のC2級関数とする
∂f/∂x=f_x
∂f/∂y=f_y
とする
1.任意のr>0とx,yに対して
f(rx,ry)=(r^k)f(x,y)が成り立つとする
両辺をrで微分すると
x(f_x)+y(f_y)=k(r^{k-1})f(rx,ry)
rは任意だからr=1とすると
x(f_x)+y(f_y)=(k)f(x,y)

2.
X=(x,y)とする
逆にf(X)が
x(f_x)(X)+y(f_y)(X)=(k)f(X)
を満たすとき
r>0としてXにrXを代入すると
rx(f_x)(rX)+ry(f_y)(rX)=(k)f(rX)
r{x(f_x)(rX)+y(f_y)(rX)}=(k)f(rX)…(a)
f(rX)をrで微分すると
(df/dr)(rX)=x(f_x)(rX)+y(f_y)(rX)
これを(a)に代入すると
r(df/dr)(rX)=(k)f(rX)
両辺を(r)f(rX)で割ると
{1/f(rX)}(df/dr)(rX)=k/r
両辺をrで積分し積分定数をcとすると
∫(1/f(rX))(df/dr)(rX)dr=k∫(1/r)dr
log|f(rX)|=klog|r|+c
log|f(rX)|=log|r|^k+c
f(rX)=±(e^c)(r^k)
C=±(e^c)とすると
f(rX)=C(r^k)…(b)
これにr=1を代入すると
f(X)=C
だからこれを(b)に代入すると
f(rX)=(r^k)f(X)
∴X=(x,y)だから
f(rx,ry)=(r^k)f(x,y)

補足

回答ありがとうございます！！
そこで、聞きたいことがあるのですが、

＞両辺をrで微分すると
x(f_x)+y(f_y)=k(r^{k-1})f(rx,ry)

とありましたが、左辺はどうしてそうなるのでしょうか？
つまり、どうしてd{f(rx,ry)}/dr=x(f_x)+y(f_y)
となるのでしょうか？

また、また２は極座標変換を用いて解くとどのようになるかわかりますか？

以上２点です。どちらかだけでもいいのでよろしくお願いします。