A+εBの固有値の次数の評価はこれでいいでしょうか

質問

皆様,宜しくお願い致します。

n×n正値エルミート行列A,Bと ε∈Rに於いて,

A+εBの固有値(正の実数になる)の評価を探してます。
つまり,
det((A+εB)-λI)=0…(ア) (Iは単位行列) とした時,
λ=O(ε^r)のrの値は何になるだろうか考えてます(O( )はランダウの記号(Big-O notation)。

式(ア)は,λ^n+f(λ,ε)=0 (f(λ,ε)はλとxとからなる多項式でλ,εについての最高次数は夫々n-1,n)という形に展開されるかと思います。

それでもって,
λ=O(ε^1)と評価されるのではと推測したのですが,実際どのようにして評価してけばいいのでしょうか?

回答No.3

stomachman

ANo.2へのご説明有難うございます。
|ε|が小さい時の話だと思い込んでまして、ε^0の項を無視するのがどうも腑に落ちなかったのですが、どうやらご質問は「|ε|がうんと大きい時にλがどうなるか」ということで、さらに「0でない固有値について」という条件も付いているんですね。
　だとすれば、m個の固有値が0になる場合を考慮しなくちゃです。

お礼

すいません。ちょっと混乱中です。

> |ε|が小さい時の話だと思い込んでまして、

小さい場合です。0≠ε∈R

> ε^0の項を無視するのがどうも腑に落ちなかったのですが、

すいません。ここの意味が分かりません。"ε^0の項を無視する"とはどういう事でしょうか?

>「0でない固有値について」

A,Bはn×n正値エルミート行列なので固有値は正実数だと思いますが、、そのような事をおっしゃってるのではないのですかね。

> だとすれば、m個の固有値が0になる場合を
> 考慮しなくちゃです。

え!? もう少し詳しくお願い致します。

補足

再度,少し考えました。ご紹介頂いた手法を用いてで,

A+εBは
A+εB=V^*diag(λ_1,…,λ_n)V と対角化されるので,(Vはユニタリ行列)
これより,
V(A+εB)V^*=diag(λ_1,…,λ_n)
⇔
diag(λ_1,…,λ_n)=VAV^*+εVBV^*
⇔
diag(λ_1,…,λ_n)=(α_ij)+(εβ_ij)
(ただし,(α_ij):=VAV^*,(β_ij):=VBV^*)

⇔
diag(λ_1,…,λ_n)=(α_ij+εβ_ij)

という形に書けるので,両辺の成分を比較して,
各λ_1,…,λ_nは高々εの一次式として表されるから
λ_1=O(ε^1),…,λ_n=O(ε^1)
となると結論づいたのですが,,
勘違いしてますでしょうか?

回答No.2

stomachman

> どの成分もλ_1,λ_2,…,λ_kの次数は一次で,それに対応する成分もεなので

えーと、λ=O(ε^1) と（象徴的に？）仰る意味が今ひとつ分からんので、n=2で、Aが単位行列、Bが
0 1
1 0
の場合でやってみせて下さいな。

お礼

ありがとうございます。試してみました。

A=I,
B=
0,1
1,0
の時,

A+εB=:V^*diag(λ_1,λ_2)Vとおいてみると,Vはユニタリ行列
この場合,U=Iだから

1,ε
ε,1
=U^*diag(λ_1,λ_2)U

となり,

1,ε
ε,1
=
λ_1v_11v_11~+λ_2v_21v_21~, λ_1v_11v_21~+λ_2v_21~v_22~
λ_1v_21v_11~+λ_2v_21v_22, λ_1v_21v_21~+λ_2v_22v_22~

という形になると思います。

これより,連立方程式
ε=λ_1v_11v_21~+λ_2v_21~v_22~(=:λ_1ν_1+λ_2ν_2),
ε=λ_1v_21v_11~+λ_2v_21v_22(=:λ_1ν_3+λ_2ν_4)
をλ_1,λ_2について解くと

λ_1=1/ν_1(1-ν_2(ν_3-ν_1)/(ν_2ν_3-ν_1ν_4))ε,
λ_2=(ν_3-ν_1)/(ν_2ν_3-ν_1ν_4)ε

従って, λ_1,λ_2ともε^1の定数倍として表せましたので,
λ_1=O(ε^1), λ_2=O(ε^1) となりましたが,如何でしょうか?

回答No.1

stomachman

Aは対角行列（= 対角成分以外全部0）、 Bは対角成分が全部0、という場合にはそうはならんでしょ？つまりA, Bによって話は違う。
一般にA = U Λ U* (UU*=単位行列、U*はUの随伴行列、Λは対角行列）と分解したとき、(U* B U)をお考えになると宜しいかと。

お礼

> Aは対角行列（= 対角成分以外全部0）、 Bは対角成分
> が全部0、という場合にはそうはならんでしょ？

仰る通りです。

先ず,A+εBはエルミート行列となるので,或るユリタリ行列Vで対角化可能で

A+εB=V^*diag(λ_1,…,λ_n)Vと書けます。 λ_1,…,λ_nはA+εBの固有値.
次に
U^*とUを上の両辺に左右から掛けると,

U^*AU+εU^*BU=(VU)^*diag(λ_1,…,λ_n)VU
で
diag(α_1,…,α_n)+εU^*BU=(VU)^*diag(λ_1,…,λ_n)VUとなりますね。α_1,…,α_nはAの固有値.

両辺を成分で表記すると,

α_1+εb'_11,εb'_12,…,εb'_1n
εb_'21,α_2+εb'_22,…,εb'_2n
:
εb'_n1,εb'_n2,………α_2+εb'_nn
=
Σ_{k=1}^n λ_kw_{k1}w_{1k},Σ_{k=1}^n λ_kw_{k1}w_{2k},…,Σ_{k=1}^n λ_kw_{k1}w_{nk}
Σ_{k=1}^n λ_kw_{k2}w_{1k},
:
Σ_{k=1}^n λ_kw_{kn}w_{1k},………………………………,Σ_{k=1}^n λ_kw_{kn}w_{nk}

となりますので,両辺の成分を見比べると,どの成分もλ_1,λ_2,…,λ_kの次数は一次で,それに対応する成分もεなので
λ=O(ε^1).
と結論づいてしまったのですが、、、

勘違いしてますでしょうか????