高校数学の行列です、よろしくお願いします

質問

平面上の1次変換fによって原点を通らないある直線lが自分自身に移されるならば原点以外の点Pでf(P)=Pをみたすものが存在することを証明せよ
解説は
l;↑x=t↑l+↑aとおく
lの方向ベクトルを↑l(≠0)とすると条件から
l;↑x=t↑l+↑a,↑a平行ではない↑l(t;実数)と表せる

lの像f(l);f(↑x)=tf(↑l)+f(↑a)がlと一致する条件は
f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)かつf(↑a)=↑a+α↑l(α;実数

像f(l)lと一致する条件は
f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)かつf(↑a)=↑a+α↑l(α;実数)
とあるんですが

f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)これは方向ベクトルが実数倍だから平行なのかなとわかるんですが
f(↑a)=↑a+α↑l(α;実数)これがわからないです、この式が何で等号で結ぶつくんですか?

別解がありましてfを表す行列をA、lの方向ベクトルを↑l(≠0),l上の任意の点を↑xとすると題意からA↑x-↑x=s↑l（ｓ；実数)　よって(A-E)↑x=s↑l

もし,A-Eが逆行列をもつと仮定すると↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑lとなり、これはlが原点を通る事になるから不適とあるのですが↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑l

何でこの式からlが原点を通ることを表すのか分かりません
ゆえにA-Eは逆行列をもたない、したがって(A-E)↑p=↑0すなわち

A↑p=↑0すなわちA↑p=↑pをみたす点↑pがあるから題意は成り立つとあるのですが(A-E)↑p=↑0すなわちA↑p=↑0すなわち
A↑p=↑pをみたす点↑pがあるからというのが何故そういえるのか分かりません

回答No.10

Tacosan · ベストアンサー

了解. ただ, それなら
「常には 0 でない」
とした方が安全. あるいは
「0 であるとは限らない」
とか.

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「常には 0 でない」
>とした方が安全. あるいは
>「0 であるとは限らない」
分かりました

回答No.9

Tacosan

とりあえず
「↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑l（ｓ；実数) が原点を通る直線を表す」
というのは OK?

で, だけど, あなたは自分の日本語がおかしいことに気付いていますか?
・「sも常に0じゃないです」といったら「常に s≠0」を意味する. つまり「s=0の時は0になります」と矛盾する (0 にならないものが, なんで 0 になるの?).
・「s次第で原点かもしれないし直線になるかもしれない」というのは「s の値によっては原点を表すかもしれないし直線を表すかもしれない」ということだよね? つまり, 例えば「s が 3 なら原点を表すし, s が 9 なら直線 y = 2x+4 を表す」という意味だよね? そうじゃないとしたら, 表現がおかしいよ.

お礼

ご返答後ありがとうございます

補足

>「↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑l（ｓ；実数) が原点を
>通る直線を表す」
>というのは OK?
はい、分かりました

>「sも常に0じゃないです
常に0とは限らないという意味ですね、常にというのはずっと0のままじゃなくて0しかないということは無いと言う意味で書きました

回答No.8

Tacosan

ますます意味不明. 「s次第で原点かもしれないし直線になるかもしれない」ってなんだ.

「常に0じゃない」は「0 ではありえない」って意味だよね?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「常に0じゃない」は「0 ではありえない」って意味だよ
>ね?
s=0の時は0になります、sの値によって変わります

回答No.7

Tacosan

ん～....

「当然同じ場合もありますが違う場合もあるから右辺は常に0ではないですね、sも常に0じゃないですね」ってどういうこと?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「当然同じ場合もありますが違う場合もあるから右辺は常に>0ではないですね、sも常に0じゃないですね」ってどういう>こと?
s次第で原点かもしれないし直線になるかもしれないという意味で書きました

回答No.6

Tacosan

「1次変換 f によって直線l が自分自身に移る」というのは
直線l 上の任意の点 P が f によって移った先の点 Q は直線l 上にある
と言っているに過ぎない. もちろんたまたま Q が P と同じ点かもしれないが, 直線l 上にある P 以外のどこかの点 (たくさんあるよね?) かもしれない.

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「1次変換 f によって直線l が自分自身に移る」というの
>は直線l 上の任意の点 P が f によって移った先の点 Q は>直線l 上にあると言っているに過ぎない
分かりました、どうやら正射影と同じだと思っていましたが違うんですね、fがlへの正射影を表す場合はl上の点は同じ位置に移りますよね？

今回の場合l上の点↑xがfによってl上のどこかの点に移るわけですが、その場合がA↑xですが、これと元の↑xは同じ直線上にあるからA↑x-↑x=s↑lと表せますね、

当然同じ場合もありますが違う場合もあるから右辺は常に0ではないですね、sも常に0じゃないですね、ここまでは分かりました、ここからこの式を移項して↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑lとしたわけですが、

これが原点を通る直線を表すというのは、どういう風に考えたらいいんですか？

回答No.5

Tacosan

「ある直線lが自分自身に移される」とは書いてあるけど, それは「l上の点↑xをAで自分自身に移る」ことを意味しない.

というか, もし「原点を通らないある直線lが自分自身に移される」が「l上の点↑xをAで自分自身に移る」を意味すると考えるなら, こんな証明無駄でしょ?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>ある直線lが自分自身に移される」とは書いてあるけど, そ>れは「l上の点↑xをAで自分自身に移る」ことを意味しない.

そうなんですか？じゃあ平面上の1次変換fによって原点を通らないある直線lが自分自身に移されるってどういう事なのですか？l上の点がfによって自分自身に移るって事じゃないんですか？fって行列で表したらAの事ですよね

>もし「原点を通らないある直線lが自分自身に移される」が
>「l上の点↑xをAで自分自身に移る」を意味すると考えるな
>ら, こんな証明無駄でしょ?
そうなんですが、だからこその疑問ですね

回答No.4

Tacosan

もう一回書くけど, 「同じ変数を使うということは同じ値であることを強制する」んだよ. これは自動的に「常に同じ値にはならないから文字は分けないといけない」ことも意味する.

で後半はやっぱり問題を勘違いしているように思える. 問題のどこに「l上の点↑xをAで移動させると自分自身に移る」って書いてあるんですか?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>l上の点↑xをAで移動させると自分自身に移る」って書いて
>あるんですか?
問題文に平面上の1次変換fによって原点を通らないある直線lが自分自身に移されるとあります、これがl上の点↑xをAで自分自身に移る事を意味していませんか？

回答No.3

Tacosan

だから, 「同じ変数を使うということは同じ値であることを強制する」ってことなんだって. 例えば
lの像f(l);f(↑x)=tf(↑l)+f(↑a)がlと一致する条件は
f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)かつf(↑a)=↑a+α↑l(α;実数)
のところを
lの像f(l);f(↑x)=tf(↑l)+f(↑a)がlと一致する条件は
f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)かつf(↑a)=↑a+t↑l(t;実数)
と書いたら, 「f(↑x)=tf(↑l)+f(↑a)」における t と「f(↑a)=↑a+t↑l」における t は同じ値であることを意味するわけ. 同様に
lの像f(l);f(↑x)=tf(↑l)+f(↑a)がlと一致する条件は
f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)かつf(↑a)=↑a+k↑l(k;実数)
と書いたら「f(↑l)=k↑l」の k と「f(↑a)=↑a+k↑l」の k は同じ値でなければならない.

あるいは, 連立方程式
x+2y = 3, 2x-y = 1
があったときに「なんで x と y という違う文字を使ってるの? xとかyとかって変数ですから何入れてもいいって事ですよね？だから別に文字を区別する必要ないんじゃないかな」って疑問に思ったことは何回くらいありましたか?

次.

当然だけど「↑○=↑△の形で表せたら原点を通る」ってことになるほど甘くはない. 今の場合は s として任意の実数をとれることが重要で, s の値を適切に選ぶと「lが原点を通る事」になるんだよ. その「適切な s の値」が何かは, じっくりと考えてみてくれ.

最後.

それは文章を全く読めていない. 「(A-E)↑p=↑0になる」んじゃなくて「(A-E)↑p=↑0にできる」んだ. そして後者は, 本質的に
http://okwave.jp/qa/q8691163.html
に書いたことと全く同じ.

お礼

回答ありがとうございます

補足

>(↑x)=tf(↑l)+f(↑a)がlと一致する条件は
>f(↑l)=k↑l(k;実数,k≠0)かつf(↑a)=↑a+k↑l(k;実数)
>と書いたら「f(↑l)=k↑l」の k と「f(↑a)=↑a+k↑l」の >k は同じ値でなければならない
確かにそうですね、常に同じ値にはならないかもしれないですが、同じ値になる時もありますよね？でも常に同じ値にはならないから文字は分けないといけないということですか？

>. その「適切な s の値」が何かは, じっくりと考えてみて
>くれ.
大分考えたんですが、そもそもその前の式でA↑x-↑x=s↑lと
あるのですが、l上の点↑xをAで移動させると自分自身に移るのでA↑xと↑xって同じじゃないですか？だからA↑x-↑xって0じゃないですか、だからA↑x-↑x=s↑lという書き方がおかしくないですか、右辺は0ですよ　だからsも0ですか？

だから↑x=s(A-E)(インバース)↑lが原点を通る直線というのはsが0だからですか？

回答No.2

Tacosan

「同じ文字を使う」ってことは, 「同じ値だ」と言っていることと同じ. α は k なり t なりと同じ値なんですか? もしそうだとしたら, それはなぜ?

で ↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑l が「原点を通ることを表す」ってのは「ｓ；実数」だからだね.

最後は全く意味不明. 「(A-E)↑p=↑0すなわち A↑p=↑0」はなぜ?

お礼

御返答ありがとうございます、最後までお願い出来ますと助かります

補足

>それはなぜ?
だってtとかkとかって変数ですから何入れてもいいって事ですよね？だから別に文字を区別する必要ないんじゃないかなって思ったんです

>↑x=s(A-E)^(-1)(インバース)↑l が「原点を通ることを表>す」ってのは「ｓ；実数」だからだね.

↑○=↑△の形で表せたら原点を通るってことなんですか？

>最後は全く意味不明
A-Eが逆行列をもたない時に何故(A-E)↑p=↑0になるんですか？(A-E)と↑pを掛けたら何で0になるんですか？って意味です

回答No.1

Tacosan

f(↑a)=↑a+α↑l(α;実数)
のところだけ:
問題文に書いてあるよね, 「平面上の1次変換fによって原点を通らないある直線lが自分自身に移される」って.

お礼

御返事有難うございます、宜しければ他の疑問点の箇所も是非お答えいただけると助かります

補足

f(↑a)=↑a+αのαは他のf(↑l)=k↑lで使ってるkや;↑x=t↑l+↑aで使ってるtと文字が違いますが、同じ変数αで統一したらダメなのですか？変数だけどそれぞれ違うんですか？