偏微分方程式 陽解法について

質問

温度伝導率a=1、刻み幅Δｘ=0．5、Δt=0．05とした時の温度変化を求めよ。
ここで境界条件T(０、t)=０、T(１、t)=１、初期条件T(x、０)=０とする。

差分式を整理して

Ti,n+1 =Ti,n ＋ 1/5(Ti+1,n ー 2Ti,n ＋ Ti-1,n)

となりました。このあとどうすればいいかわかりません、、、T1,0やT2,0はどうすれば求まるのでしょうか。教えて欲しいです。

回答No.1

spring135

Ti,n+1 =Ti,n ＋ 1/5(Ti+1,n ー 2Ti,n ＋ Ti-1,n)　　　(1)

は時間(n+1)Δtにおける点iΔｘの温度は右辺、つまり時間nΔtにおける点（i+1)Δｘ,iΔｘ,(i-1)Δｘ

の温度によって決まるということを言っています。

したがってn=0、つまり初期条件から初めて時間をΔtづつ進めるのが大筋の計算の流れになります。

各時間ステップにおいて、境界を除く各点における値を(1)によって緩和していくことになります。

1）n=0

Ti,0=0 (i=0,I) (I=1/Δt=20) : 初期条件より

2）n=1:ここで右端(x=1)だけが温度が跳ね上がって1になります。（T(１、t)=１）よって

T20,1=1　, T0,1=0(境界条件)

Ti,1 =Ti,0 ＋ 1/5(Ti+1,0 ー 2Ti,0 ＋ Ti-1,0)　（i=19,1)

3)n=2

T20,2=1　, T0,2=0(境界条件)

Ti,2 =Ti,1 ＋ 1/5(Ti+1,1 ー 2Ti,1 ＋ Ti-1,1)　（i=19,1)

以下同じ

もともと

T(1,0)において、境界条件T(１、t)=１と、初期条件T(x、０)=０とは矛盾しているわけです。これは

時間のカウントが始まった時点（|t-0|<ε）においてx=1の温度が1に跳ね上がったと考えます。

差分近似的にはこれは時間Δtにおける現象と考えます。

以後、x=1においてはT20,t＝1が保たれて、これが熱伝導によりじわじわと左方向に伝わって行って、

最終的に直線的な分布になるプロセスをsimulateすることになります。