数学の質問です。

質問

f(x)=x^4+2x^3+2x^2+x-6とする。

（１）f(x)を因数分解せよ。

（２）xが実数で、t=x^2+xのとき、tの値の範囲を求めよ。

（３）xが実数値をとりながら変化するとき、f(x)の最小値と、そのときのxの値を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa

（１）f(x)を因数分解せよ。
＞f(1)=1+2+2+1-6=0よってf(x)=(x-1)(x^3+ax^2+bx+c)と分解できる。
以下、割り算とは別の方法で解くと、
(x-1)(x^3+ax^2+bx+c)=x^4+(a-1)x^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
係数を比較して-c=-6からc=6、c-b=1からb=5、b-a=2からa=3、
よってf(x)=(x-1)(x^3+3x^2+5x+6)=(x-1)g(x)とおくと
g(-2)=-8+12-10+6=0からg(x)=(x+2)(x^2+dx+e)と分解できる。
(x+2)(x^2+dx+e)=x^3+(d+2)x^2+(e+2d)x+2e、g(x)と係数比較、
2e=6からe=3、e+2d=5からd=1、よってg(x)=(x+2)(x^2+x+3)
x^2+x+3は根の判別式：1-4*3＜0から実数解を持たないので、
実数の範囲での因数分解は出来ない。
よってf(x)=(x-1)(x+2)(x^2+x+3)・・・答
（２）xが実数で、t=x^2+xのとき、tの値の範囲を求めよ。
＞t=x^2+xならx^2+x-t=0、これを満たすxが実数である条件は
根の判別式≧0、よって1-4*(-t)=1+4t≧0からt≧-1/4・・・答
（３）xが実数値をとりながら変化するとき、f(x)の最小値と、そのときのxの値を求めよ。
f'(x)=4x^3+6x^2+4x+1
f"(x)=12x^2+12x+4=4(3x^2+3x+1)
3x^2+3x+1=0の根の判別式＜0だから常にf"(x)＞0であり、f(x)は下に凸の曲線。
よってf(x)はf'(x)=0のときに最小値(極小値)をとる。
f'(x)=4x^3+6x^2+4x+1=0を直接解くのは特別な解法が必要なので、
（１）で求めた因数分解したf(x)からf'(x)を求めると
f(x)=(x-1)(x+2)(x^2+x+3)
f'(x)=(x+2)(x^2+x+3)+(x-1)(x^2+x+3)+(x-1)(x+2)(2x+1)
={(x+2)+(x-1)}(x^2+x+3)+(x-1)(x+2)(2x+1)
=(2x+1)(x^2+x+3)+(x-1)(x+2)(2x+1)=(2x+1){x^2+x+3+(x-1)(x+2)}
=(2x+1)(2x^2+2x+1)となり、根の判別式から2x^2+2x+1＞0
となるので、f'(x)=0の解は2x+1=0すなわちx=-1/2だけである。
f(-1/2)=(-1/2)^4+2*(-1/2)^3+2*(-1/2)^2+(-1/2)-6=-99/16
f(x)の最小値は-99/16、そのときのxの値は-1/2・・・答

回答No.3

info222_

f(x)=x^4+2x^3+2x^2+x-6　…（※1）

（１）f(x)を因数分解せよ。
f(1)=0、ｆ（-2）=0 なので因数定理よりf(x)は (x-1)(x+2) なる因数をもつ。
f(x)=(x-1)x^3+3(x-1)x^2+5(x-1)x+6(x-1)
=(x-1)(x^3+3x^2+5x+6)
=(x-1)((x+2)x^2+(x+2)x+3(x+2))
=(x-1)(x+2)(x^2+x+3) …（答）

（２）xが実数で、t=x^2+xのとき、tの値の範囲を求めよ。
x^2+x-t=0
xの実数条件より　判別式D=1+4t≧0 ∴t≧-1/4 …（答）

（３）xが実数値をとりながら変化するとき、f(x)の最小値と、そのときのxの値を求めよ。
f'(x)=4(x+1/2)(x^2+x+1/2)

(2)より　(x^2+x+1/2)≧-1/4+1/2=1/4>0 なので
x<-1/2でf ' (x)<0なので f(x) は単調減少
x>-1/2でf ' (x)>0 なので ｆ(x)は単調増加
x=-1/2でf(x)は極小となり、極小値f(-1/2)=-99/16

f(x)は４次式でx^4の係数1>0であり、極大値なし、極小値１個のみなので、極小値が最小値となる。

f(x)の最小値f((-1/2)=-99/16,このときのx=-1/2 …(答)

回答No.2

spring135

f(x)=x^4+2x^3+2x^2+x-6

(1)

f(1)=0は中学クラス、

f(x)=(x-1)(x^3+3x^3+5x+6)

g(x)=x^3+3x^3+5x+6

とおくと

g(±1)≠0

くじけず±2をtry

g(-2)=0

g(x)=(x+2)(x^2+x+3)

x^2+x+3=0

の判別式D＜０

よって実数の範囲では因数分解終了

f(x)=(x-1)(x+2)(x^2+x+3)

(2)平方完成するだけ

t=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4

t≧-1/4

(3)t=x^2+x

x^2=t-xを適宜f(x)に代入

f(x)=x^4+2x^3+2x^2+x-6=(t-x)^2+2x(t-x)+2(t-x)+x-6

=t^2+2t-x^2-x-6=t^2+2t-(t-x)-x-6=t^2+t-6=(t+1/2)^2-25/4

y=t^2+t-6=(t+1/2)^2-25/4を書くこと。そこでt≧-1/4の範囲でyの変化を観察すること。

結局t=-1/4で最少となり、最小値＝-99/16

回答No.1

papabeatles

因数分解だけします。
ｘに１を代入すると０になります。
わり算をすると
（ｘ－１）（ｘ＾３＋３ｘ＾２＋５ｘ＋６）になります。
ｘに－２を代入すると０になりますので
わり算をすると
（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ＾２＋ｘ＋３）
になります。
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