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二次元空間の曲がりについて
- 二次元の空間の曲がりについて教えてください。平面では三平方の定理が成り立ち、リーマン計量は（１ ０）（０ １）であるが、球面のように曲がっていればリーマン計量はこのようにはならず、三平方の定理も成り立たない、ということは分かります。そこで質問ですが、いま平面を伸び縮みさせずに曲げる、たとえば一枚の紙を破らないようにクネクネさせて曲げるとします。
- このとき面上の座標で見るかぎり三平方の定理は成り立っていると思うのでリーマン計量も平面と同じになると思いますが、それで良いのでしょうか。
- 三次元に埋め込んで見ると、平面とは明らかに違う曲面ですが、リーマン計量だけでは平面と区別ができないのでしょうか。
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お礼、ありがとうございます。#1です。 >・二次元空間上に住む人が自分の世界を平面か円筒面か区別するためには、いろいろな方向にいつまでも進んで行って出発点に戻るかどうかを実際に確認するほかない。 ほぼ、その通りです。進むものは光でもよく、例えばある方向を見たら自分の背中が見える（←比ゆ的表現です）。それと、ほぼ同様の状況がある方向と、その反対方向に、同じもの（恒星、銀河等々）が見える状況です。 いずれにせよ、空間をぐるっと一周という現象です。 >もしある方向に進んで出発点に戻れば、円筒面とは断定できないまでも、その方向では空間が閉じていることが分かる。 その通りです。 なお、上記は円筒面の他、円錐面でもそうなります。円筒面か円錐面のどちらかだとして、円錐面の頂点が探せるかどうかで決まりますから、どちらなのかを決定するのは、そこの住人にとっては、なかなか大変なことかと思われます。 >・我々の住む三次元空間において、空間の曲率がゼロ（ユークリッド空間と区別がつかない）という場合でも、ある方向にいつまでも進めば出発点に戻る、ということがあり得る。 その通りです。2次元なら円筒面ですが、3次元でも同じような空間の状態はあり得て、超円筒面などと呼ばれることもあります。4次元でも、それ以上でも同じです。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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良ぃです。区別できないです。 参考 http://www.geocities.jp/maeda_hashimoto/tor/tor_ch02pr03p04.htm
お礼
ご回答ありがとうございます。歪めずに曲げた曲面、たとえば円筒表面などのリーマン計量は 平面と同じ、ということは分かりました。教えていただいたURLは大変参考になります。 追加の質問で申し訳ありませんが、以下に書いた二つの解釈は正しいでしょうか。 ・二次元空間上に住む人が自分の世界を平面か円筒面か区別するためには、いろいろな方向に いつまでも進んで行って出発点に戻るかどうかを実際に確認するほかない。もしある方向に 進んで出発点に戻れば、円筒面とは断定できないまでも、その方向では空間が閉じているこ とが分かる。 ・我々の住む三次元空間において、空間の曲率がゼロ（ユークリッド空間と区別がつかない）と いう場合でも、ある方向にいつまでも進めば出発点に戻る、ということがあり得る。
曲面が真っ直ぐな平面を歪めずに作られる、例えば円筒表面のようなケースですね（円錐面でも、段ボールの間のように波うつようでも同じ）。 平面を歪めずに曲げた曲面である限り、リーマン曲率は０で元の平面と同じです。リーマン計量も平面と同じになります。平面を歪めないで作った2次元曲面内からは、局所的には平面としか分かりません（大域的には、円筒面なら真っ直ぐ行ったら元の地点に戻ったり、円錐面なら頂点を円内に含む円の半径などで分かることもある）。
お礼
ご回答ありがとうございます。歪めずに曲げた曲面、たとえば円筒表面などのリーマン計量は 平面と同じ、ということは分かりました。 追加の質問で申し訳ありませんが、以下に書いた二つの解釈は正しいでしょうか。 ・二次元空間上に住む人が自分の世界を平面か円筒面か区別するためには、いろいろな方向に いつまでも進んで行って出発点に戻るかどうかを実際に確認するほかない。もしある方向に 進んで出発点に戻れば、円筒面とは断定できないまでも、その方向では空間が閉じているこ とが分かる。 ・我々の住む三次元空間において、空間の曲率がゼロ（ユークリッド空間と区別がつかない）と いう場合でも、ある方向にいつまでも進めば出発点に戻る、ということがあり得る。
お礼
ありがとうございました。たいへん勉強になりました。