数B「球面の方程式」について

質問

数Bの問題です。
点（3,-4,0）でxy平面に接する半径5の球面の方程式を求めよ。
球面の方程式がいまいち理解できません。
できるだけわかりやすい回答をお願いします。

回答No.3

WiredLogic · ベストアンサー

球というのは、中心からの距離が同じになる点を集めてできた図形なので…

中心が(a,bc)、半径がr、球の表面上の点が(x,y,z)　だったら、
中心と球上の点の距離は、距離の公式というか、３平方の定理というか、それを使って、
√{(x-a)^2 + (y-a)^2 + (z-c)^2}、これが、半径rにならないけないので、
等式の形にし、√が面倒なので、両辺を２乗すると、教科書にある球の方程式、
円の方程式と考え方は一緒です。

この問題では、中心の座標は与えられていませんが、
「点（3,-4,0）でxy平面に接する」と書いてあり、
円のときは、接点と中心を結んだ半径は、接線が垂直だったのと同じで、
球のときは、接点と中心を結んだ半径は、接平面と垂直になります。

この場合、接平面がxy平面なので、図を描けば解るように、中心は、
接点(3,-4,0)から、z軸に平行に5移動した点、注意しないといけないのは、
円のときもそうでしたが、(3,-4,5)と(3,-4,5)と２つ出てくる、というところです。

球についての話は、当然の話のことではありますが、円と非常に似たところがあるので、
教科書や参考書読むときは、基本は円と同じ、では、どこが違うのかな？という視点で
みておくと、理解したり、覚えたりしやすくなります。

お礼

回答ありがとうございました。
考え方を書いてくださり、大変参考になりました。
そしてすごく分かり易いです。
次に似たような問題が出たときも、答えられそうです！
苦手な分野だったので理解でき、嬉しいです。

補足

回答ありがとうございます。
教えて頂いた事を元に図をかいてみました。
しかし、図が上手くかけているか不安です。
指摘していただけないでしょうか？

新しく質問をつくり、そこに載せています。
http://okwave.jp/qa/q6525685.html
↑こちらです。

お手数をおかけします。
お時間があればよろしくお願いします。

回答No.4

WiredLogic

A.No.3を書いたものです。２つの中心がある話のところ、書き損ないで同じになってますね。
片方は(3,-4,-5)と書いてあるつもりで読んでください。ごめんなさい。

お礼

わざわざ補足していただきありがとうございました。
非常に分かり易いです。

回答No.2

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No. 1の回答に誤りがありました。中心座標は2つあり得ます。正しい回答は以下の通り。

「点（3,-4,0）でxy平面に接する半径5の球面」ということは、その球の中心座標は(3,-4,5)または(3,-4,-5)です。つまり、中心座標が(3,-4,±5)、半径が5の球面の方程式を求めよ、ということです。答えは、(x-3)^2+ (y+4)^2+(z±5)^2 = 5^2 です。

お礼

補足もありがとうございました。
大変、助かりました。

補足

おっしゃるとおりでした。
配慮が欠けてすみません。
そこでなのですが、
中心座標が（3,-4,5),(3,-4,-5)となる理由が分かりません。
図を描くと良いと思ったのですが、上手く描けませんでした。
空間図形をイメージするのが苦手です。
よろしくお願いします。

回答No.1

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「いまいち理解できません」というのは、何を理解できて何を理解できていないかわかりません。どこがわからないのかを特定すれば、それだけわかりやすい回答も得られます。わからないところをいちいち説明するのは面倒だからこれでわかってよ、そして「できるだけわかりやすい回答」を書いてよ、というのは虫がよすぎます。

「点（3,-4,0）でxy平面に接する半径5の球面」ということは、その球の中心座標は(3,-4,5)です。つまり、中心座標が(3,-4,5)で、半径が5の球面の方程式を求めよ、ということです。答えは、(x-3)^2+(y+4)^2+(z-5)^2 = 5^2 です。

お礼

回答ありがとうございます。
解答してくださる方にとって、
とても失礼な質問の仕方だったと反省しております。
ご指摘、ありがとうございました。