証明なんですが

質問

ｆを実数値関数として、
f({a+b}/2)={f(a)+f(b)}/2が成り立つとき、ｆは一次関数でしかありえないことの証明というのはどうしたらいいのでしょうか？方針を教えてください。お願いします。

回答No.1

InRock

定理として、

k,a,bを実数としたとき、

1．ｋ*f(x)=f(k*x)
2. f(a+b)=f(a)+f(b）

であることが、ｆが一次関数である必要十分条件なのですが、これを証明せよという問題だとします。

まず、fが一次以上の実数値関数であるならば、

f(x)=αn*x^n+αn-1*x^(n-1)+…＋α1*x+α0
ただしnは自然数、α0～αnは任意の実数

とおけます。これを条件式に代入して計算します。
次に代入して計算した条件式の左辺＝右辺となるためには、α0～αnが任意であるため、α0～αnの係数がすべて等しくなくてはなりません。

ゆえに、α0～αnの係数ｎ個について、

[(a+b)/2]^i=(a^i+b^i)/2 (i=1～ｎ）

が成り立たねばならないが、これが成り立つのは、a,bがともに0でなければ、i=1のときのみです。

したがってn=1であり、ｆは一次関数である。

という感じです。もっとスマートなやり方があるかもしれませんが・・・。