微積分

質問

f(x)が[a,b]上で連続で、すべてのx∈[a,b]でa≦f(x)≦bとなるならば、f(c)=cとなるc∈[a,b]が存在することを示せ。ただしa<b

これはどのように証明すればいいのでしょうか？
教えてください
よろしくお願いします

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

g(x) = x - f(x)
g(x)は、x∈[a,b]で連続。

そして、
　g(a) = a - f(a) = 0
ならばa = c。
　g(b) = b - f(b) = 0
ならば、b = c。

この二つの場合を除くと、
　g(a) = a - f(a) > 0
　g(b) = b - f(b) < 0
g(x)はx∈[a,b]で連続なので、中間値の定理より、
　g(c) = c - f(c) = 0
　f(c) = c
を満たすcが(a,b)に存在する。

みたいな感じ。

回答No.3

NemurinekoNya

#1です。
#1の回答には間違いがあります。

　g(a) = a - f(a) > 0
　g(b) = b - f(b) < 0
ではなくて、
　g(a) = a - f(a) < 0　　　　・・・(1)
　g(b) = b - f(b) > 0　　　　・・・(2)
が正しいです。

何か、今日、間違いばっかおかしている（汗）。

このお詫びとして、
「f(a) ≠ a」かつ「a≦f(a)≦b」だから、a < f(a)
「f(b) ≠ b」かつ「a<f(b)≦b」だから、b > f(b)
これから、（１）と（２）が出てきます。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます

回答No.2

nag0720

g(x)=x-f(x)　と置いてg(x)に中間値の定理を適用する。