定積分に関する初歩的な定理の証明の中での疑問です

質問

定積分に関する初歩的な定理の証明の中での疑問です。必要な部分のみ抜書きします。

[仮定] [a,b]でf(x)が連続、f(x)≧0で、かつf(x)が恒等的に0でない
とすると、

f(c)>0である点cがある。f(x)は連続だから、定数Aを0<A<f(c)ととれば、cを含む小区間[c',c"]において、f(x)≧A>0である。

というのですが、最後の『f(x)≧A>0』というのがどうしても分かりません。私が不勉強なコンパクト集合上の一様連続とかを使うのでしょうか?

ヒントだけでも教示してもらえるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

これは連続性から導かれます。
そのようなAをとります。ｃにおける連続性から任意のε＞０に対しδ＞０がとれて、∀x:|x-c|＜δ -ε＜f(c)-f(x)＜εです。
最後の不等式を書き直すとf(c)-ε＜f(x)＜f(c)+εです。さてεとして例えばf(c)-Aよりも小さくとります。このときf(c)-ε＞f(c)-(f(c)-A)=Aなので区間(c-δ,c+δ)上でf(x)≧Aとなります。さらに閉区間上でその評価が欲しければ(c-δ,c+δ)の中でｘを含む任意の閉区間をとってくればよいです。

お礼

さっそくのご回答、重ねて感謝いたします。ポイントが遅れてしまい、たいへん失礼いたしました。今後ともよろしくお願いいたします。

では

補足

さっそくのご回答を感謝いたします。

>εとして例えばf(c)-Aよりも小さくとります。
↑には気がつきませんでした。なるほどよくわかりました。

実は一ヶ所引っかかってしまってあれこれ考えてしまってお礼が遅れてしまいました。失礼いたしました。

>このときf(c)-ε＞f(c)-(f(c)-A)=Aなので区間(c-δ,c+δ)上でf(x)≧Aとなります。

ここの所なのですが、f(c)-ε＜f(x)なので、A＜f(c)-ε＜f(x)となり、≦にならないのが気になって仕方がありません。手書きでいろいろ図を描いてみると、f(x)＝Aとなるような点は区間(c-δ,c+δ)上でありそうな気もするのですが。すみませんがこの辺のところを教えてもらえるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

take008

> ここの所なのですが、f(c)-ε＜f(x)なので、A＜f(c)-ε＜f(x)となり、≦にならないのが気になって仕方がありません。

不等式は，単に大小関係を表している場合と，とり得る値の範囲を表している場合があります。
ｘ＞０ のとき １/ｘ≧０ は正しい（単なる大小関係）
ｘ＞０ のとき ｙ＝１/ｘ の値域は ｙ≧０ は間違い（値の範囲）

お礼

アドバイス、どうもありがとうございました。ていねいにご回答くださってよくわかりました。お礼がたいへん遅れてしまって申し訳ありませんでした。今後ともよろしくお願いいたします。