積分の応用

質問

f(x)は0≦x≦1で連続な関数で∮(0→1) (1－x)f(x)dx=0が成り立つとする。このとき、∮(0→a) f(x)dx=0(0<a<1)であるようなaが存在することを示せ。 お願いします。

回答No.1

noname#161402

こういうのは背理法が常道です。

0<a<1であるような任意のaに対して∫[0→a]f(x)dx=0とならないとする。

F(x)=∫[0→x]f(t)dtとおいて、0<x<1でF(x)が常に正（あるいは常に負）であることをいう。

最後に、∫[0→1](1-x)f(x)dxを部分積分して0にならないことを言って矛盾に導く。

やり方は他にもあるかもしれません。

ところで、∮という記号は別の意味に使うので、書くなら∫を使ってください。