数学 因数分解

質問

a(b^2-c^2）+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)

=(c-b)a^2+(b^2-c^2)a+bc^2-cb^2

=(c-b)a^2-(c^2-b^2)a+bc^2-cb^2

=(c-b)a^2-(c-b)(c+b)a+bc(c-b)

=(c-b){a^2-(c+b)a+bc}

=(c-b)(a-c)(a-b)

この式の解き方を教えていただきたいです
最初のa^2でくくるところからしてわかりません

よろしくお願いします

回答No.4

ORUKA1951

二次式の因数分解なら、まず二次式の一般形ax² + bx + cに形に直してみる。
ここでは、aについて整理している
a(b² - c²）+ b(c² - a²) + c(a² - b²)
(分配)
= ab² - ac² + bc² - ba² + ca² - cb²
(aについて整理)
= ca² - ba² + b²a - c²a + bc² - cb²
　^^^^^^^^a²　^^^^^^^^^a
(結合)
= (c-b)a² + (b² - c²)a + bc² - cb²
・・・あとはわかるね。

回答No.3

bgm38489

a^2,a^1,a^0の項に整理していって、因数分解しているだけですね。a^0とは、aの関係しない項のことです。

まず、a^2の項。bと-a^2が掛け合わされて、-ba^2。cとa^2が掛け合わされて、ca^2。これをあわせて、(c-b)a^2…cが先に来て戸惑っているようですが、(-b+c)a^2ではかっこ悪いので、(c-b)としているだけです。

a^1、aだけの項は、a(b^2-c^2)ですね。

a^0の項は…としていったら、二つ目の式ができた。

a^2項の係数は(c-b)のため、a^1,a^0の係数にも因数分解して(c-b)が現れるようにしよう。これが３つ目の式の意味。

係数を因数分解すると…これが４つ目。

(c-b)でくくると…これが５つ目。

も一つ因数分解できるから…これで最終結果、きれいな式ができました。

こんなとこ。

回答No.2

spring135

>a(b^2-c^2）+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)　　　(1)

対称式の因数分解の定石は「対称性を崩せ」です。

a,b,cがきれいに対照的に循環している式を「美しいなあ」と感心しているだけでは前に進みません。

「対称性を崩せ」とはどういうことか。

どれかを「贔屓しろ」ということです。a,b,cのどれかを主役(変数) とみて他を係数、定数と見ろということです。

そうすると質問者の書いているような変形ができて、きれいに解けてくるわけです。

しかし、式(1)なんて遊びだという気がしませんか。「遊びには遊びで返そうではないか」と思いませんか。

式(1)でa=b(bをaで置き換える）とおくと0になることがわかりますか。

このことは式(1)が(a-b)という因数を持っていることを意味します。

対称性により(b-c),(c-a)も持っています。

従って(1)は

a(b^2-c^2）+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(a-b)(b-c)(c-a)F(a,b,c)

と書けます。

左辺、右辺のaの次数を比較するとともに2次です。よってF(a,b,c)は定数です。

左辺のa^2の係数は(c-b),右辺は-(b-c)=(c-b),よって定数は1、つまりF(a,b,c)＝１

回答No.1

asuncion

その解き方では、
aに関する2次式と
みなしています。
bとcは、定数とみなしています。

aについて
2次の項
1次の項
定数項
に分けて考えています。

なお、
bに関する2次式と
みなしても
cに関する2次式と
みなしても、かまいません。
最終的には同じ結果を得ます。