因数分解について

質問

因数分解についていくつか困っています。
1）問題集の解説に「与式」とありますが何ですか？
2）a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)　のとき方について。
分配法則で括弧をはずすところまでは分かりますが、
そこから先が分かりません。
3)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)のとき方について。
同じく分配法則で括弧をはずし、
(b-c)a^3+(b^3-c^3)a+c^3b-b^3cにして、
(b^3-b^3)aを二乗にして
(b-c)a^3+(b-c)+(b^2-2bc+c^2)a+c^3b-b^3cになるはずなのに、解説では
(b-c)[a^3+bc(b-c)(b^2-bc+c^2)aになるのでしょうか？
さらに言えばそのあとの手順も理解しがたいです。
(b-c)[(a^2-b^2)a+bc(a-b)-c^2(a-b)]
(b-c)(a-b)[a(a+b)-bc-c^2]
(b-c)(a-b)[(a^2-b^2)+b(a-c)]
(b-c)(a-b)(a-c)(a-c+d)となっていくのですが・・・。
なんとなく括り直したりしてるんだろうなとはわかるんですが・・・。
あつがましいようですがよろしくお願いします。

回答No.3

digitalworld · ベストアンサー

１）『与式』とは、読んで字のごとく「問題文中で
与えられている式」のことを意味します。

２）a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
　　=a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+bc(b-c)
=a^2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)
={a^2-a(b+c)+bc}(b-c)
=(a-b)(a-c)(b-c)

１行目から２行目への計算で、aに関する「降べきの
順」に並べたことがポイントです。そのあとは、(b-c)
でくくれることに気づけばラストまでいけると思い
ます。

３）b^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)と因数分解できます。
この公式を勘違いしていませんか？
この点さえしっかりおさえていれば、解説を読んで
理解できると思います。それでも分からないことが
あったら、また質問してください。

お礼

>b^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)と因数分解できます。
>この公式を勘違いしていませんか？
すみません。間違って覚えていました。
ついでにお聞きしますが、b^3+c^3=(b+c)(b^2+bc+c^2)でいいんですか？

補足

くくれるということは、外に一つにできるということですか？

回答No.7

digitalworld

b^3+c^3=(b+c)(b^2+bc+c^2)ではありません。
惜しいですけどね。（笑）
正しくは、
b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)
です。
b^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)
これとセットで覚えてください。
上記のそれぞれ-bcと+bcは、「余分に出てきて
しまった項の帳尻あわせ」的なイメージで覚えて
おくといいと思います。
また、右辺を展開して左辺の形にもっていくことも
勿論できます。うる覚えであっても、その手で確認
できることを知っておけば、少しは安心でしょう。^^

お礼

ありがとうございます。
>これとセットで覚えてください。
はーい。

回答No.6

debut

１）与式・・文字通り、問題文などで与えられた式
２）a について整理すると、
　　　(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2
　　　=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
　　　後は、共通因数を出して、残りを因数分解
３）(b-c)a^3+(b^3-c^3)a+c^3b-b^3c
　　は(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+b^3c-bc^3　なのでは？
それから、入力ミスがないですか？
　　(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b^2-c^2)
　　=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
　　=(b-c){(a^2-b^2)a-bc(a-b)-c^2(a-b)}
　　　　{ }の中を展開してみればa^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2
　　　　a^3-ab^2から(a^2-b^2)a、-abc+b^2cから-bc(a-b)、-ac^2+bc^2
　　　　から-c^2(a-b)ができます
　　=(b-c){a(a-b)(a+b)-bc(a-b)-c^2(a-b)}
　　=(b-c)(a-b){a(a+b)-bc-c^2}
　　　　{ }内を展開すれば、a^2+ab-bc-c^2
　　=(b-c)(a-b){(a^2-c^2)+b(a-c)}
　　=(b-c)(a-b){(a-c)(a+c)+b(a-c)}
　　=(b-c)(a-b)(a-c)(a+c+b)　ではありませんか？

と書いているうちに回答がたくさん。折角書いたから投稿します。

回答No.5

hh69

(1) 問題文で与えられた式
(2) (3)でやっているのと同様に、aについて整理していきます。
(3) 何か間違いだらけのような気がしますが。
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=(b-c)a^3+(c^3-b^3)a-c^3b+b^3c
=(b-c)[a^3-(c^2+bc+b^2)a+bc(b+c)]　　（c^3-b^3=(c-b)(c^2+bc+b^2)と、-c^3b+b^3c=(b-c)(b^2c+c^2b)=(b-c)bc(b+c)より）
のようにして、(b-c)でまとめてやります。今度は[・・・]の中から共通の因数がないかどうか考えてみます。この手の問題の場合、a,b,cが対称な形をしているので、(b-c)という因数が出てきたならば、(a-b)や(c-a)という因数も出てくるはずです。そのことを頭に置いた上で[・・・]の中を丹念に整理していけば答えにたどり着けるはずです。

お礼

ありがとうございます。

>何か間違いだらけのような気がしますが。
複雑で、オッチョコチョイな性質なもんで
打ち間違えた部分もあるかもしれません。

回答No.4

marin456

１．与式とは本文中にある式の事をさします。つまり“与えられた”式という意味ですね。

２．与式⇔a^2(b-c)+(c^2-b^2)a+b^2c-c^2b=0
　　　　⇔(b-c){a^2-(b+c)a+bc}=0
　　⇔(b-c)(a-b)(a-c)=0となります。

３．最初の部分なんですがb^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)ですよ

回答No.2

noname#91219

１）特に計算問題を解くときに、（たとえばノートに写すときに）問題を移すのは面倒で省略したいときに、与えられた式という意味で、
（与式）＝・・・
と書くと効率的です。計算問題を解いているうちにこの使い方が分かってくると思います。

お礼

ありがとうございます。
"与"えられた"式"で与式なんだ。

回答No.1

noname#17189

(1)与えられた式のこと。

(2)ひとつの文字に注目して、その文字について降べきの順に整理。

(3)考え方は(2)と同じ。

＞(b-c)a^3+(b-c)+(b^2-2bc+c^2)a+c^3b-b^3cになるはずなのに、
ならないですよ。ためしに落ち着いて展開してみてください。元のと違ってるから。

(3)は
まず展開して、aの3次式と見て、aについて降べきの順に整理する。
各項を因数分解すると(b-c)が出てくるので(b-c)で全体を括る。
括った残りの部分をまた展開して、中身を今度はcの二次式と見てcについて整理。
(a-b)で括る、という流れです。

頑張ってね。