物理の問題 近似を使った変形

質問

大学入試問題の物理の問題を解いています。
その解答を見ると最後に近似が使ってあるのですが、どう変形したのかがよくわかりません。

PQ＝√｛(ｆ＋ｚ)^2＋r^2｝、ｚ＝r^2/２R
ｆは十分に大きい。
x<<1のとき(1+x)^n≒1+nx

ｆが大きいのでそれを前に出して、（１＋ｘ）の形を作りたいのですが、（ｆ＋ｚ）の部分がうまく処理できません。
回答よろしくお願いします

回答No.3

yardbird · ベストアンサー

ｚ＝r^2/２R をいれて

PQ＝√｛f^2(1＋r^2/2fR)^2＋r^2｝

＝√｛f^2(1＋r^2/fR)＋r^2｝

＝√｛f^2＋fr^2/R＋r^2｝

＝√｛f^2(1＋r^2/fR＋r^2/f^2)｝

＝f√(1＋r^2/fR＋r^2/f^2)

ここで √ は 1/2乗なので

＝f{1＋(r^2/fR＋r^2/f^2)}^1/2

「 x<<1のとき(1+x)^n≒1+nx 」において
x が (r^2/fR＋r^2/f^2)、n が 1/2 の場合であるので

＝f{1＋1/2(r^2/fR＋r^2/f^2)}

＝f{1＋r^2/2f(1/R＋1/f)}

……あ～しんどかった。テキストだけでこのような
式の変形を書くのは面倒至極！

お礼

詳しく丁寧に教えていただき本当にありがとうございました。とても助かりました

回答No.2

sanori

ｆが大きいので

（ｆ＋ｚ）^2　＝　ｆ^2（１＋ｚ／ｆ）^2
　≒　ｆ^2（１＋２ｚ／ｆ）

　↑　ここまでが肝心

この後は、どういう解を出したいかという方針によるので、割愛します。

補足

お二方回答ありがとうございます。
答えが
ｆ｛１＋r^2/2f（1/R+1/f)｝となっていて、r^2/2f（1/R+1/f)の部分へ変形していくことができません。
よろしくお願いします

回答No.1

marin456

fが十分に大きいとき r/(f＋z)≪1のため
r^2/(f＋z)^2≒0と考える事ができ
(f＋z)^2＋r^2≒(f＋z)^2だとおもうんですが・・・