極限についてです。答えは出るのですが・・・理由が

質問

極限についてです。答えは出るのですが・・・理由が不明確（課程が不明確なのです。）どうか教えてください。
　　　　　　　　 x+2
１：　lim(x→2)　────
　　　　　　　　(x-2)^2

２：　lim(x→3+0) log_10 (x - 3)

３：　lim(θ→π/2) tanθ

１は∞、２は－∞になることは一応わかったようですが、後からみるとあれって感じになってしまいます・・・。（本当はわかっていない可能性有り）

よろしくお願いします

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

adminsさん、こんにちは。
まず、感覚的に。
１番では、x→2とすると、x-2→0ですから
分母は０に近づきます。
一方、分子は4に近づくので、４をどんどん小さいもので割っていくと
∞に近づきそうだ・・・という予想ができます。

＃２さんのように、
（与式）＝lim(x→2)(x+2)/(x-2)^2=lim(x→2){1/(x-2)+4/(x-2)^2}
とおくと、
x-2=tとすると、これは
=lim(t→0){1/t+4/t^2}と同じなので、
t→0のとき、1/t→∞、4/t^2→∞ですから
（与式）→∞
となると思います。

２番も、まずは感覚的に。
y=log[10](x-3)のグラフを考えてみるといいですね。
考えにくければ、ますは
y=log[10]t
というグラフを考えてみるといいです。
このとき、t>0ですが、tをプラスから０に近づけていくと
yはー∞に近づいていくのが分かると思います。
t=x-3なので、
t→+0というのは、x→3+0
ということですから、
（与式）→-∞
ということが分かると思います。

お礼

とてもとてもわかりやすいかつ詳細な解答を示して頂けたおかげで、私の理解もスムーズにいき、他の問題に関しても考え方の道筋が見えたので、結構スラーって解けました！　ありがとうございました。

回答No.4

Mell-Lily

実際に計算してみればいいと思います。
　lim<x→2>(x+2)/(x-2)^2
という式は、xを2に近付けていくとき、
　(x+2)/(x-2)^2
が、近付いていく数を表しています。ですから、xに、
　x=1, 1.5, 1.7, 1.99, 1.9999, 1.999991359
と具体的な数値を代入して、
　(x+2)/(x-2)^2
の値を計算してみましょう。計算するときには、パソコンや計算機を使ってもいいでしょうね。

回答No.2

yomo3

1:分子を(x-2)+4と二つに分けます。
するとlimの中は、１項目が約分されて
　1
-----　これはxが2になると∞
x-2
２項目は、
4
-------　これもxが2になると∞
(x-2)^2
結果的に∞+∞で答えは∞
2と3は書きかけたけど、途中でやになった。
グラフを書いて視覚的に理解した方がいいと思います。
数学をテキストで表現するのは予想以上に疲れます。

回答No.1

ONEONE

(1)分母は限りなく正から０にちかずくから＋∞でいいです。

(2)グラフを描いてみるとわかります。
x=３が漸近線となって-∞のグラフでこれはlog_10（x）をｘ軸正の方向へ３平行移動したもの。

仮にx-3=tとおくとx→3+0でt→+0
lim(x→3+0) log_10 (x - 3)＝lim(t→+0) log_10 (t)＝-∞

(3)これもtanθのグラフを描いてみてください
近づけ方によって＋∞か－∞かになります。
左側極限は＋∞、右側極限は－∞ですね。
lim(θ→π/2±0) tanθ=lim(θ→π/2±0) sinθ/cosθ=干∞（複合同順）
干←マイナスプラスのつもり