オベリスク体積算定式の導出法

質問

オベリスクの体積は
Ｖ＝ｈ/6×(ａ・Ｂ＋Ａ・ｂ＋2ａ・ｂ＋2Ａ・Ｂ）です。
　ｈ：オベリスクの高さ
　ａ，ｂ：上面の短辺長および長辺長
　Ａ，Ｂ：底面の短辺長および長辺長

どうして、このような式になるのか、順を追ってご説明をお願いします。
よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞底面からの高さHの断面の短辺長および長辺長は
それぞれA-(A-a)H/h、B-(B-b)H/hであり、
そのを面積S(H)とすると、
S(H)={A-(A-a)H/h}*{B-(B-b)H/h}
=(1/h^2){(A-a)(B-b)H^2-(2AB-Ab-aB)hH+ABh^2}
V=∫(H=0→h)S(H)dH=(1/h^2){(A-a)(B-b)∫(H=0→h)H^2dH
-(2AB-Ab-aB)h∫(H=0→h)HdH+ABh^2∫(H=0→h)dH}
=(1/h^2){(A-a)(B-b)(h^3/3)-(2AB-Ab-aB)h(h^2/2)+ABh^2(h)}
=(h/6){2(A-a)(B-b)-3(2AB-Ab-aB)+6AB}
=(h/6)(2AB-2Ab-2aB+2ab-6AB+3Ab+3aB+6AB)
=(h/6)(2AB+Ab+aB+2ab)=(h/6)(aB+Ab+2ab+2AB)

お礼

積分を使うんですね。丁寧に導出いただいてありがとうございました。大変分かり易かったです。