球を任意の平面で切ったときの体積

質問

質問させてください。

半径：ｒ の球があり、
それを任意の平面で切ったとき、
底面（切り口）からの高さをＨとします。

その切り取られた部分の体積Vを求める公式が、
V＝（π/3）×Ｈ^2×（3ｒ－Ｈ）
となっていました。

公式をみてもなぜそうなるかが全くわかりません。
わかる方おられましたらぜひご教授ください。
宜しくお願いします。

回答No.2

a_simigonn · ベストアンサー

図より、高さxにおける断面積は{r^2-(r-x)^2}*πとなるので、
積分範囲0～Hでxについて積分すればよい。

∫{r^2-(r-x)^2}×π dx
=∫(2rH-H^2)×π dx
=πrx^2-πx^3/3
=(π/3)×H^2×(3r-H)

お礼

図付きの回答までいただきありがとうございます！
非常に分かりやすかったです！
完全に謎が解けました！

回答No.1

owata-www

そもそもですが、
x^2+y^2＝r^2をx軸周りに回転させると半径rの球になり、その体積は

∫[-r,r]πy^2dx
＝∫[-r,r]π（r^2-x^2）dx
…
＝4πr^3/3
で求められることはわかりますか？

そうすれば、求める体積は
∫[-r,H-r]πy^2dx
であり、これを計算すれば
V＝（π/3）×Ｈ^2×（3ｒ－Ｈ）
となるかと

お礼

ありがとうございます！
ずっと数学から離れてたので解き方が全く思いつきませんでした。
参考になりました！