お願いします

質問

nは正の整数で、2でも3でも割り切れないとするとき、次の問いに答えよ。

　(1)nを6で割った余りは何か。

　(2)n^2-1は24で割り切れることを示せ。

　この問題の解答をお願いします。

回答No.1

QoooL · ベストアンサー

（１）
6は言うまでもなく2と3の最小公倍数

nを6で割った余りは、
0、1、2、3、4、5
の5通り考えられる（0は割り切れるということ）。

余りが0、2、4のとき、ｎは偶数だから2で割り切れる。

余りが0、3のとき、ｎは3で割り切れる。

ということは、
2でも3でも割り切れないなら、
nを6で割った余りは・・・？
予想外かも知れませんが答え２つです。

（２）
（１）の答えを使う。

余り1のとき
n = 6k +1　とおける（kは0以上の整数）。

n^2-1 = (6k+1)^2 -1 = 36k^2 + 12k +1 -1
= 24k^2 + 12(k^2 + k) = 24k^2 + 12k(k + 1)

ここで、k(k + 1)　は連続する整数の積だから、偶数。
（偶ｘ奇、または奇ｘ偶）

したがって12k(k + 1) = 24 L と表せる（Lは0以上の整数）。
n^2-1 = 24k^2 + 24 L = 24(k^2 + L)

k^2 + L　は整数だから、24で割り切れる。

同様に、
余り5のとき
n = 6k' +5　とおける（k'は0以上の整数）。

n^2-1 = (6k+5)^2 -1 = 36k^2 + 60k +25 -1
= 24(k'^2 + 2k' +1) + 12(k'^2 + k') = 24(k'+1)^2 + 12k'(k' + 1)

ここで、k(k + 1)　は連続する整数の積だから、偶数。

したがって12k'(k' + 1) = 24 L' と表せる（L'は0以上の整数）。
n^2-1 = 24(k'+1)^2 + 24 L' = 24((k'+1)^2 + L')

(k'+1)^2 + L'　は整数だから、24で割り切れる。

ところで、過去の連続投稿などを拝見させていただきましたが、
ＢＡ以外にも返事をくれた回答者にはきちんとお礼を付けた方が良いと思います。

別にお礼が欲しくてここを利用しているわけではありませんが、
礼儀正しくないと、私だったら、次から同じ人に答える気はしませんね。

あと、タイトルも、質問内容がもう少しわかりやすくしていただけると助かります。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございました。
それと、的確なアドバイスありがとうございます。
次回から気をつけたいと思います。
タイトルももっとわかりやすいものに変えたいと思います。

回答No.1

QoooL

（１）
6は言うまでもなく2と3の最小公倍数

nを6で割った余りは、
0、1、2、3、4、5
の5通り考えられる（0は割り切れるということ）。

余りが0、2、4のとき、ｎは偶数だから2で割り切れる。

余りが0、3のとき、ｎは3で割り切れる。

ということは、
2でも3でも割り切れないなら、
nを6で割った余りは・・・？
予想外かも知れませんが答え２つです。

（２）
（１）の答えを使う。

余り1のとき
n = 6k +1　とおける（kは0以上の整数）。

n^2-1 = (6k+1)^2 -1 = 36k^2 + 12k +1 -1
= 24k^2 + 12(k^2 + k) = 24k^2 + 12k(k + 1)

ここで、k(k + 1)　は連続する整数の積だから、偶数。
（偶ｘ奇、または奇ｘ偶）

したがって12k(k + 1) = 24 L と表せる（Lは0以上の整数）。
n^2-1 = 24k^2 + 24 L = 24(k^2 + L)

k^2 + L　は整数だから、24で割り切れる。

同様に、
余り5のとき
n = 6k' +5　とおける（k'は0以上の整数）。

n^2-1 = (6k+5)^2 -1 = 36k^2 + 60k +25 -1
= 24(k'^2 + 2k' +1) + 12(k'^2 + k') = 24(k'+1)^2 + 12k'(k' + 1)

ここで、k(k + 1)　は連続する整数の積だから、偶数。

したがって12k'(k' + 1) = 24 L' と表せる（L'は0以上の整数）。
n^2-1 = 24(k'+1)^2 + 24 L' = 24((k'+1)^2 + L')

(k'+1)^2 + L'　は整数だから、24で割り切れる。

ところで、過去の連続投稿などを拝見させていただきましたが、
ＢＡ以外にも返事をくれた回答者にはきちんとお礼を付けた方が良いと思います。

別にお礼が欲しくてここを利用しているわけではありませんが、
礼儀正しくないと、私だったら、次から同じ人に答える気はしませんね。

あと、タイトルも、質問内容がもう少しわかりやすくしていただけると助かります。