倍数の問題です。

質問

次の問題を教えてください。

整数ｎに対して、Ｐ（ｎ）＝ｎ＾５－ｎ　とする。
このとき、次の各問いに答えよ。

（１）　Ｐ（ｎ）は３０の倍数である事を示せ。
（２）　Ｐ（ｎ）が１２０の倍数となるようなｎを求めよ。

です。
（１）の方は、Ｐ（ｎ）＝ｎ（ｎ－１）（ｎ＋１）（ｎ＾２＋１）
　として（ｎ＾２＋１）を考えて求めていくんだろうなあと思っているのですが
　その次がわかりません。　よろしくお願いします。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

（１）
Ｐ（ｎ）＝ｎ（ｎ－１）（ｎ＋１）（ｎ^2 ＋１）
と因数分解します。

どんなnに対してもｎ、ｎ－１、ｎ＋１のどれか1つは３の倍数になり、
またどれか1つは２の倍数になります。
そこでＰ（ｎ）は２×３=６の倍数であることがわかります。
そこでｎ、ｎ－１、ｎ＋１のどれか1つが５の倍数であれば
Ｐ（ｎ）は６×５＝３０の倍数であることがいえます。

また ｎ、ｎ－１、ｎ＋１のどれも５の倍数でないときは
その時は ｎ^2 ＋１が５の倍数になる、ということを証明すれば
（１）の命題が示せたことになります。

ｎ、ｎ－１、ｎ＋１のどれも５の倍数でないときは
ｎ－１＝５k＋１、ｎ＝５k＋２、ｎ＋１＝５k＋３ または
ｎ－１＝５k＋２、ｎ＝５k＋３、ｎ＋１＝５k＋４
の形で書けます。
ｎ＝５k＋２ なら ｎ^2 ＝５k＋４
ｎ＝５k＋３ なら ｎ^2 ＝５k＋４
の形で書けますから
ｎ^2 ＋１はちょうど５の倍数になります。 　 　 　 　 　 　　■

（２）
nがなんであれＰ（ｎ）は３０の倍数であることがわかったので
Ｐ（ｎ）が８の倍数になるようなnを求めれば
Ｐ（ｎ）は８と３０の最小公倍数である１２０の倍数になることがわかります。
逆にＰ（ｎ）が１２０の倍数ならもちろんＰ（ｎ）は８の倍数でもありますから
Ｐ（ｎ）が８の倍数になることはＰ（ｎ）が１２０の倍数になるための必要十分条件です。
またこのときＰ（ｎ）は４の倍数にもなっていることに注意しましょう。

これは場合わけで考えるしかなさそうです。
ｎ、ｎ－１、ｎ＋１の３つについて４の倍数になるかどうかを
考えると
(１) ｎ－１＝４k－１、ｎ＝４k、ｎ＋１＝４k＋１
(２) ｎ－１＝４k、ｎ＝４k＋１、ｎ＋１＝４k＋２
(３) ｎ－１＝４k＋１、ｎ＝４k＋２、ｎ＋１＝４k＋３
(４) ｎ－１＝４k＋２、ｎ＝４k＋３、ｎ＋１＝４k
の４つの場合があります。
まず（３）の場合はｎ^2＋１＝４k＋１となりますからこのときは
Ｐ（ｎ）の因数に４の倍数は含まれない、すなわちＰ（ｎ）は１２０の倍数となり得ません。
(２)と(４)の場合はもちろんＯＫです。このときＰ（ｎ）は８の倍数になっていることがわかりますね。
(１)のときは ｎ^2 ＋ １＝４k＋１なのでこの場合に８の倍数となり得る数はｎしかないことになります。
したがってｎは４の倍数かつ８の倍数であること、すなわち８の倍数であることが必要です。
まとめると

ｎ＝４k＋１
ｎ＝４k＋３
ｎ＝８k
のどれかで表される数であることが必要です。

お礼

詳しく教えていただきありがとうございました。