高校数学 指数関数

質問

問題　　小さいほうから順に並べよ。　　√２、∛３、⁵√５
というものです。
私の解答の記述の仕方で減点対象になるような部分があればご指摘お願いします。
自分の解答…
√２＝２＾１/２＝２＾１５/３０＝（２＾１５）＾１/３０
∛３＝３＾１/３＝３＾１０/３０＝（３＾１０）＾１/３０
⁵√５＝５＾１/５＝５＾６/３０＝（５＾６）＾１/３０
指数が等しいから、底について５＾６＜２＾１５＜３＾１０
底は１より大きいから　⁵√５＜√２＜∛３

また、減点されない簡単な記述の例をできればお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

着想はよいと思います。

>指数が等しいから、底について５＾６＜２＾１５＜３＾１０
底は１より大きいから　⁵√５＜√２＜∛３

3段論法的に整理すれば

「指数が等しく正なので、3数の大小の順序は底の大小の順序に一致する。

底については

５＾６＜２＾１５＜３＾１０

よって

⁵√５＜√２＜∛３」

「別解」

高校で対数を習った場合は2,3の常用対数は記憶する方が望ましいとされます。

log2=0.3010

log3=0.4771

log2を使って

log5=1-log2=0.6990

log6,log8,log9も導けます。

log√２=(log2)/2=0.150

log∛３=(log3)/5=0.159

log⁵√５=(log5)/3=0.139

正の数の大小の順序は対数の大小の順序に一致するので

⁵√５＜√２＜∛３

お礼

回答ありがとうございました。
丁寧で詳しい解説でよくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

問題文に
ただし、log[10]2 = 0.3010、log[10]3 = 0.4771とする。

のようなただし書きがあれば、使ってかまいません。
そういうただし書きがなければ、
log[10]2やlog[10]3は未知であるとしなければなりません。

さて、
まずは√2と3^(1/3)の大小関係を調べます。
両方を6乗します。こうしても、大小関係を保っています。
(√2)^6 = 2^3 = 8
(3^(1/3))^6 = 3^2 = 9
よって、ここまでで、√2 < 3^(1/3)であることがわかりました。 ... (1)

次に、√2と5^(1/5)の大小関係を調べます。
両方を10乗します。
(√2)^10 = 2^5 = 32
(5^(1/5))^10 = 5^2 = 25
よって、ここまでで、5^(1/5) < √2であることがわかりました。 ... (2)

(1)(2)より、
5^(1/5) < √2 < 3^(1/3)

お礼

回答ありがとうございました。
詳しい解説をありがとうございました。
勉強になりました。