おそらくフーリエ級数の問題

質問

１．∫[d,d＋2p]sin(kπt/p)・sin(nπt/p)dt=｛0 (k≠n)
｛p(k=n)
この計算が途中までは地道にできましたがやはり完答できません
教えてください
お願いします

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

I=∫[d,d＋2p]sin(kπt/p)・sin(nπt/p)dt

(1)k≠nの場合

加法定理の和と差の公式により

sinAsinB=[cos(A-B)-cos(A+B)]/2

を用いて

I=∫[d,d＋2p]sin(kπt/p)・sin(nπt/p)dt

=(1/2)∫[d,d＋2p][cos((k-n)πt/p)-cos((k+n)πt/p)]dt

公式　∫cos(at)dt=(1/a)sin(at)+Cより

I=(1/2)[(p/(k-n)π)sin((k-n)πt/p)-(p/(k+n)π)sin((k+n)πt/p)][d,d+2p]

この式が書けるのはk≠nだからである。

I=(1/2)[(p/(k-n)π){sin((k-n)π(d+2p)/p)-sin((k-n)πd/p}
-(p/(k+n)π){sin((k+n)π(d+2p)/p)-sin((k+n)πd)}]

最初の｛｝の中は

sin((k-n)π(d+2p)/p)-sin((k-n)πd/p=sin((k-n)π(d/p)+2(k-n)π]-sin((k-n)πd/p)

三角関数の周期性により

sin((k-n)π(d/p)+2(k-n)π]＝sin((k-n)πd/p)

よって｛｝の中は０

後の｛｝の中も同様

よって

I=0

(2)k=nの場合

I=∫[d,d＋2p]sin^2(kπt/p)dt

公式　sin^2(A)=(1/2)(1-cos(2A))を用いて

I=(1/2)∫[d,d＋2p][1-cos2(kπt/p)]dt

=(1/2)[t-(p/2kπ)sin(2kπt/p)][d,d+2p]

=(1/2)[2p-(p/2kπ){sin(2kπ(d+2p)/p)-sin(2kπd)]

周期性により｛｝の中は０

よって

I=p

お礼

ご回答本当にありがとうございました！
おかげでテストもなんとかなりそうです！