正三角形の面積、 正五角形の面積

質問

一辺をXとした正三角形の面積の
求めかたを教えてください。
それと、一辺をXとした正五角形の
面積の求めかたを教えてください。
お願いします。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

正三角形の面積の求め方は出ているので、
正五角形の面積についてのみ触れます。
ANo.1さんは『正五角形は正三角形の5つの集まり』と述べていますが、
正五角形は二等辺三角形の5つの集まりです。
なので正三角形の面積を利用することはできません。

> それと、一辺をXとした正五角形の
> 面積の求めかたを教えてください。

半径rの円に内接する正五角形を作り、
円の中心から正五角形の各頂点に向けて線分を引きます。
すると二等辺三角形が5つ作れるので
この二等辺三角形1個の面積を求め、それを5倍します。
一応この方法で面積は求められます
(この方法だと面積はrの式になりますが、これをXの式に変換することも可能です)。

ただこの方法で正五角形の面積を求めるには、
高校数学の三角比の知識が必要です。
（もっと簡単に求める方法があるかもしれません）

計算したところ、一辺Xの正五角形の面積は次のようになりました。
Xとかけ算の記号が紛らわしいので、かけ算する部分はそのままひらがなで書いています。
また、X^2は『Xの二乗』を表します。

(5/4) かける { sin72°/(1 - cos72°)} かける X^2

ちなみに、
sin72° = { √(10 + 2√5)} / 4
cos72° = ( -1 + √5 ) / 4
となるみたいです。

お礼

御回答有難うございました。
わかりやすく書き込んでもらい感謝です。

回答No.5

take_5

余り賢明な方法ではない。

＞sin5θ=sin（3θ+2θ）=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ　(加法定理）

36°＝θとすると、5θ＝πから　2θ＝π-3θとして両辺のsinをとればよい。

お礼

御回答有難うございました。
参考にさせていただきます。

回答No.4

staratras

正5角形の面積を求めるにはNo.2様の解答のように計算する場合
36°の三角関数を求める必要があります。その方法のあらすじを示します。

sin5θ=sin（3θ+2θ）=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ　(加法定理）

これに、3倍角の公式、2倍角の公式を代入して5倍角の公式を作ると

sin5θ=16（sinθ）^5-20（sinθ）＾3+5sinθ
θ=36°　とすると　sin5θ=sin180°=0
sinθ=x　とおくと　x（16x＾4-20ｘ＾2＋5）=0
sin36°≠0　より　x≠0　カッコ内の方程式を解いて
x^2を求め、さらにｘ(=sin36°）を求めることができます。
sin36°が分かれば、cos36°　tan36°も求められます。

お礼

御回答有難うございました。
細かく説明してもらってとても
わかりやすいです

回答No.2

xitoaki

no.1さんの回答の補足＆訂正

三角形についてはいいのですが、
5角形は正三角形の5つの集まりではありません。
底辺がX、頂点が360÷5度の2等辺三角形5つの集まりです。

5角形の頂点角度は上記式より頂点が72度の2等辺三角形です。
これは鋭角が72÷2＝36度、短辺がX/2の直角三角形2個の集まりです。
高さは角度がわかっているので、タンジェント表を使えば
求めることが出来ます。（手元にないので今計算できませんが）
後は高さ×X÷２で1つの2等辺三角形の面積が出ますので、
×5すれば全体の面積が出ます。

もっと簡単な方法があるかもしれませんが、
この方法ですと正n角形の面積や周囲が導き出せるので、
n角を極大まで大きくすれば、
円周＝2×半径×PIで定義される円周率を求めることも可能です。

お礼

御回答有難うございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

p-p

正三角形を２等分します

２等分した三角形の一番短い辺の長さはXの1/2になります
高さをｙと置いた場合
ピタゴラスの定理より
ｙ２乗＝X２乗　－　（X/2）２乗
ｙ２乗＝3/4　X２乗
それぞれをルートして
ｙ　＝　√3/2　X

正三角形の半分の面積は
ｙ　x　1/2Xなので
√3/2　X　ｘ　1/2X　÷2　＝　√3/8　X2乗
正三角形は2倍なので
√3/4　X2乗

正五角形は正三角形の5つの集まりなので5倍して
5√3/4　X2乗

お礼

御回答有難うございました。
正五角形はちょっと間違っていますが
正三角形の回答をありがたく
拝見させていただきます