関数の極限問題

質問

関数の極限問題

x→0のとき(tanx)/xの極致を求めたいのですが、回答では
(tanx)/x = {(sinx)/x}×{1/(cosx)} → 1
となっていました。
x→0のとき(sinx)/xの分母は0になってしまいませんか？
どなたか解説お願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

sin(x)/x → ∞　は有名な極限値です。

このような極限値の計算問題をやるときに、まず第一に学習するはずです。

図での証明が基本的ですから、下記を参考に。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_triangle2.html

お礼

図の証明に関しては私も聞いたことがありました。
この問題のことだったんですね；
回答ありがとうございました。

補足

>図の証明に関しては私も聞いたことがありました。

と書きましたが、それどころかノートにしっかりと書いてありました。
全くお恥ずかしい限りです；
お手数かけて申し訳ありませんでした。

回答No.4

naniwacchi

こんばんわ。

sin(x)/x→ 1（x→ 0）は、高校数学ではぜひとも押さえておきたい極限の「公式」ですね。
証明方法ですが、#1さんが示されているページの真ん中ぐらいに扇形と三角形を合わせた図があります。
これが教科書でも載っている一般的な証明方法になります。

＞x→0のとき(sinx)/xの分母は0になってしまいませんか？
分母も 0に近づきますが、分子も 0に近づきますね。
このような 0/0となるようなときは、きちんと調べないと 0になるときや発散するとき、
1といった有限確定値に収束する場合があって、どれとは決まっていません。

お礼

高校数学レベルの公式なのですね…
私は大学生なので皆様の回答をみて自分の勉強不足を悔悟するばかりです；

確かにx=0のときsinxも0になってしまいますね！
すっきりしました。回答ありがとうございました。

回答No.3

x1yobigun

ええと、高校レベルだと、
(sin x)/x → 1 ってのを使っていると思いますが。
sin x の微分が cos x であり、x = 0 のとき１つまり
傾き１の直線に近似するという解説がされていたと思います。

お礼

すいません私は文系なので高校時代(受験時)は数IIBまでしか学習していませんでした；
近似値計算ということは前の方のおっしゃっていたようにテイラー展開を使うのですかね…？
回答ありがとうございました。

回答No.2

Willyt

sinx をテーラー展開すると、

sinx = x-x^3/3!+・・・となりますよね。そうすると sinx/x = 1-x^2/3!+・・・となりますよね。
そうすると、ｘ→0 のときの局限値はどうなりますか？

お礼

あ、テイラー展開をしてみると分かりやすいですね！
やはり代表的なテイラー展開は覚えておいた方がよさそうですね…
回答ありがとうございました。