中３の数学です。

質問

平行四辺形ＡＢＣＤの頂点Ａを通る直線が線分ＢＤ、ＢＣおよび辺ＤＣの延長と交わる点を、それぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。
このとき、線分の比がＢＰ:ＰＤと等しい線分の組を見つけることで
ＡＰ^２＝ＰＱ×ＰＲ
が成り立っことを証明さなさい。

解答よろしくお願いします(`・ω・')

回答No.2

supertouki · ベストアンサー

おもしろい問題ですね！　千葉県にある市川高校で出そうな問題です！（笑）
まず、ＡＰ^２＝ＰＱ×ＰＲは、内項・外項の法則の逆を使うとＡＰ：ＰＱ＝ＰＲ：ＡＰと変えることが出来ます。証明するのでこの場合は相似を使う！

証明
三角形ＡＰＤと三角形ＱＰＲにおいて
∠ＡＤＰ＝∠ＱＢＰ（平行線の錯角）・・・(1)
∠ＰＡＤ＝∠ＰＱＢ（平行線の錯角）・・・(2)
(1)と(2)から、2組の角がそれぞれ等しいため
三角形ＡＰＤ∽三角形ＱＰＲ・・・(3)

三角形ＡＰＢと三角形ＲＰＤも(3)の証明と同様に相似である・・・(4)
(3)より、相似な三角形の対応する辺の比はすべて等しいのでＡＰ：ＱＰ＝ＤＰ：ＢＰ・・・(5)
(4)より、相似な三角形の対応する辺の比はすべて等しいのでＤＰ：ＢＰ＝ＲＰ：АＰ・・・(6)
(5)と(6)より、ＤＰ：ＢＰが共通してあるのでＡＰ：ＱＰ＝ＲＰ：АＰとできる。
よって、ＡＰ：ＱＰ＝ＲＰ：АＰを内項・外項の積を用いるとＡＰ^２＝ＰＱ×ＰＲとなる。
したがって、成り立つ！！！
以上！

理解できましたか！？
ほかにも、類似問題を解くとより身につくと思います！

回答No.1

gohtraw

詳細は省略しますが、△PDAとPBQは相似なので、AP：PQ＝PD：BP
また、△ABPとRDPも相似なのでPR:AP＝PD：BP

以上よりAP：PQ=PR：AP
内項の積と外項の積は等しいのでAP^2＝PQ＊PR