金利の問題です（英文）

質問

いつも大変お世話になっています。

以下の問題の途中計算の式が分からなくて困っています。

What amount (to the nearest cent（US$)) will be in an account after 5 years if $100 is invested at an annual nominal rate of 8% compounded annually? Semiannually? Continuously?

一応、

A=Pe^rt

という式を使用することは分かっていて、
最後のContinuouslyが＄149.18になることは理解できたんですが、
Compounded annuallyの場合が＄146.93で、
Semiannuallyの場合が＄148.02になるのが分かりません。
違う式を遣うのでしょうか・・・。

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.5

ddeana · ベストアンサー

The formula to get the compound annually:A=P(1+r/n)^nt
P = principal amount (the initial amount you borrow or deposit)
r = annual rate of interest (as a decimal)
t = number of years the amount is deposited or borrowed for.
A = amount of money accumulated after n years, including interest.
n = number of times the interest is compounded per year

Thus, A=100(1+0.08/1)^(1x5)=146.93

The formula to get the compound semiannually is the same as the compound annually. But n will be 2
Thus, A=100(1+0.08/2)^(2x5)=148.02

です。continouslyとannually, semi-annuallyでは使う公式が違います。

回答No.7

ybnormal

年利Xで、一年にN回支払いがあるとすると、R年後までにはN*R回の支払いがあることになります。
元本がPとすると、R年後の残高はP*(1+X/N)^(N*R)です。
ここで、N無限大にすればContinually CompoundedのケースでのR年後の残高を計算できます。
lim(N->inf)P*(1+X/N)^(N*R)

N/X=mとすると、lim(m->inf)P(1+1/m)^(m*X*R)=P*(lim(1+1/m)^m)^(X*R)

lim(1+1/m)^m = e
証明は式をテキストでタイプするが大変なので、Googleで勘弁してください
https://www.google.com/#q=lim%281%2B1/x%29^x

お礼

まとめてのお礼ですみません。
いつも助けていただいてありがとうございます。
本当に助かっています。

本来なら全員にポイントを差し上げたいのですが、
今回は私にとって1番しっくりきた解答を選ばせて頂きました。

重ね重ね、本当にありがとうございます。

回答No.6

shuu_01

No.4 です

A=Pe^rt

の r どう求めるのか、わかりませんでしたが、

単に r ＝ 0.08
P ＝ ＄100、e は自然対数の底、t ＝5 として計算すると

A ＝ $ 100 × e^（0.08×5）＝ $ 149.1824698

セントに四捨五入して、$ 149.18

と解答に一致しました

でも、正直、A=Pe^rt　の r に 0.08 を入れて、
なんで計算できるのか意味わかりません

回答No.4

shuu_01

No.2 です

正直言って、僕には １年毎の複利とか、半年毎の複利の計算はやさしかったですが、

Continuouslyが＄149.18になることがわかりませんでした

A=Pe^rt

の P は ＄100、e は自然対数の底、t は時間で良いですか？

僕は１年後 t ＝ 1 の時に ＄108 になるよう、r ＝ 0.076961041　
と設定したのですが、そうすると t ＝ 5 の時、＄ 146.9328077 になってしまました

r はどのように求めるのですか？

質問者に逆質問して申し訳ありません

回答No.3

ybnormal

まず、利子が8%つくたびに金額は1.08倍になります。これは理解しているものとして進めます。

Compounded annuallyの場合、一年後の残高は100*1.08になる。二年後にはその100*1.08の残高に対して8%の利子がかかるからさらに1.08倍して、100*1.08*1.08となる。つまりX年後には元の金額の1.08^X倍になるわけです。で、X=5として計算すれば５年後の残高が計算できます。
Semi-annuallyの場合は、年8%の利子が半年ごとに払われることになるので、半年ごとに4%の利子がつくことになり、これを5年間続ければ、利子が10回つくことになる。計算方法としては、compounded annuallyのケースの8%と4%で置き換えて、X=10とすればいいだけです。

回答No.2

shuu_01

【１】１年毎に利子がつく場合（Compounded annually）
年間の表面金利（annual nominal rate） 8% ってことは
１年後に元金を含め 108% ＝ 1.08倍 になってるってことです
２年後だと、1.08^2 倍、、、5年後だと 1.08^5 倍

＄100（1.08）^5 ＝ ＄146.9328077

セントに四捨五入すると　＄146.93 となります

【２】半年毎に利子がつく場合（Semiannually）
半年毎に 8% の半分の 4% の利子がつくとして、
半年後に 104% ＝ 1.04 倍になっています
１年後だと 1.04^2倍、１年半後だと 1.04^3倍、
2年後だと 1.04^4倍、、、、、
5年後だと 1.04^10倍

＄100（1.04）^10 ＝ ＄148.0244285

セントに四捨五入すると　＄148.02 となります

回答No.1

Tacosan

問題の内容は理解できてる?