数学 logとsinが混在する関数の最小を求める

質問

a>0、0≦ｘ≦π/2　とする。

f(x)＝（log2のa分の1＋sinx）×(log4の2a分の1＋sinx)
の最小値をaを用いて表せ

ちなみに2と4は底で、a　と　2a　が分母で、1＋sinx　は分子です

回答No.6

staratras · ベストアンサー

この問題は基本的には計算問題で、特別難しくはないと思いますが、計算ミスのおそれがあるので、置き換えを活用することにします。(計算ミスがあればご容赦ください)

f(x)＝（log[2] (1＋sin x)/a）×(log[4] (1＋sin x)/2a)
f(x)=(log[2] (1＋sin x)-log[2] (a）×((log[4] (1＋sin x)-(log[4] (2a))
f(x)=(log[2] (1＋sin x)-log[2] (a）×((log[2] (1＋sin x)-(log[2] (2a))/log[2]4)
f(x)=1/2(log[2] (1＋sin x)-log[2] (a）×((log[2] (1＋sin x)-(log[2] (2)+log[2] (a))
f(x)=1/2(log[2] (1＋sin x)-log[2] (a）×((log[2] (1＋sin x)-(log[2] (a))-1)

ここでlog[2] (1＋sin x)=X ,log[2] (a)=A とおく

0≦ｘ≦π/2　より、 1≦1+sin(ｘ)≦2 0≦X≦1 a>0 よりAはすべての実数

g(X)=1/2(X-A)(X-A-1)=1/2(X-(2A+1)/2)^2-1/8

上式はXに関する2次関数であるから軸の位置で場合分けすれば

【１】(2A+1)/2<0のとき　最小値はg(0)=1/2(A^2+A)
このとき0<a<√2/2　最小値は1/2(log[2] (a))^2+log[2] (a))
この最小値を与えるのは　x=0

【2】 0≦(2A+1)/2≦1 のとき　最小値はg((2A+1)/2)=-1/8
このとき√2/2≦a≦√2　最小値は　-1/8
この最小値を与えるのは　x=arcsin{2^(2log[2](a)+1)/2)-1}

【3】(2A+1)/2>1のとき　最小値はg(1)=1/2(A^2-A)
このときa>√2　最小値は1/2(log[2] (a))^2-log[2] (a))
この最小値を与えるのは　ｘ=π/2

回答No.5

shuu_01

f(x)＝（log[2の] (1＋sin x)/a）×(log[4] (1＋sin x)/2a)

として問題を解き、グラフも描いてみました

1 + sin x ＝ t　とおいて　（1 ≦ t ≦ 2）

式を展開した後、log[2]t ＝ s とおいて　（0 ≦ s ≦ 1）

s の二次方程式にして解きましたが、

a によって場合分けが必要で、僕だと絶対どっか計算
間違いしてそうで、回答を書けません

回答No.4

shuu_01

No.1 です

まず、お詫びですが、「1＋sinx　は分子です」っての見忘れてました

ところで、No.2 さんも No.3 さんも

f(x)＝（log2のa分の1＋sinx）×(log4の2a分の1＋sinx)
　　　　　　　　　　　　　　↓
f(x)＝（log2のa分の1＋sinx）＋(log4の2a分の1＋sinx)

として回答してますが、本当は ＋ なの？

回答No.3

info22_

f(x) = log[2]((1+sin(x))/a) + log[4]((1+sin(x))/(2a))
なら

対数を自然対数log(底e）に直すと
f(x)=log(1+sin(x))/log(2)+log(1+sin(x))/log(4)
-log(a)/log(2)-log(2a)/log(4)
=log(1+sin(x))(1/log(2) +1/(2log(2)))-log(a)/log(2)-log(2a)/(2log(2))
=log(1+sin(x))(3/(2log(2)))-log(a)/log(2)-log(2a)/(2log(2))

f'(x)=(cos(x)/(1+sin(x)))(3/(2log(2)))
0≦x≦π/2で f'(x)=0とするxは 1+sin(x)>0より cos(x)=0 ⇒ x=π/2
0≦x<π/2でf'(x)>0でf(x)はxの単調増加関数。

x=0でf(x)は最小となり、最小値は
f(0)=log(1+sin(0))(3/(2log(2)))-log(a)/log(2)-log(2a)/(2log(2))
=-log(a)/log(2)-log(2a)/(2log(2))
=-log(a)/log(2)-log(a)/(2log(2))-log(2)/(2log(2))
=-(3/2)log[2](a)-(1/2) ...(答)

回答No.2

stomachman

f(x) = log[2]((1+sin(x))/a) + log[4]((1+sin(x))/(2a))
って式で宜しいでしょうか。対数の底はANo.1と同じ書き方にしました。
　底nが2でも4でも、yの最小値がp(ただしp＞0)であるとき、log[n](y)の最小値はlog[n](p)です。（∵ log[n](y)は単調増加関数だから）
　一方、0≦x≦π/2 のとき、任意の定数k>0について
　　y = (1+sin(x))/k
は x=0のときに最小になり、最小値pは
　　p=1/k
である。
　ですから、log[n](1+sin(x)/k)は（底nが2でも4でも）x=0のときに最小になり、その最小値はlog[n](1/k)である。よって、f(x)の最小値mは
　　m = log[2](1/a) + log[4](1/(2a))
です。これをさらに、c＞0に関する恒等式
　　log[2](c) = 2 log[4](c)
を使って整理し、aが1つしか出て来ない形にまとめたほうが見た目が良くなりそうですが、ま、どーでもいいですかね。

回答No.1

shuu_01

一応、解いたのですが、、、
難しくはないのですが、やたら計算が面倒なので、
正確に計算しきれた自信ありません

一応、僕の解いた手順は：

a は 定数、x は変数ですので x と a で整理すると

f（x） ＝｛（log[2] (1/a)）＋sin x ｝・｛（log[4] (1/2a)）＋sin x ｝

　　　＝ （sin x）^2 ＋｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ sin x ＋（log[2] (1/a)）・（log[4] (1/2a)）

となります

sin x は -1 から 1 まで 2π を 1周期に変動するので、
t ＝ sin x とおいて、－t ≦ t ≦ 1 の範囲で二次方程式

t^2 ＋｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ t ＋（log[2] (1/a)）・（log[4] (1/2a)）

の最小値を a を用いて表す問題として解くことができます

上記は

［ t ＋｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2］^2 －｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ ^2/4＋（log[2] (1/a)）・（log[4] (1/2a)）

と変形でき、

－１ ≦ ｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2 ≦ 1

であれば、t ＝ ｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2　の時

　最小値　－｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ ^2/4＋（log[2] (1/a)）・（log[4] (1/2a)）

｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2 ≦ －１ の時

　最小値、［ 1 ＋｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2］^2 －｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ ^2/4＋（log[2] (1/a)）・（log[4] (1/2a)）

１ ≦ ｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2 の時

　最小値、［ －1 ＋｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ /2］^2 －｛（log[2] (1/a)）＋（log[4] (1/2a)）｝ ^2/4＋（log[2] (1/a)）・（log[4] (1/2a)）

をとります

以上で一応、答えは出したのですが、もちろん、a について整理していないので、満点は貰えません

log[2]（1/a） ＝ －log[2] a

log[4]（1/2a） ＝ log[2]（1/2a）/log[2] 4
　　　　　　　　 ＝ －log[2] 2a / 2
　　　　　　　　 ＝ －（1＋log[2] a）/2

を用い、log[2] a などで統一しなくてはならないと思うのですが、僕の計算力だとどっかこっか間違えそうなので、この回答の中に記載できません

ごめんなさい