宇都宮大学の問題です。お願いします。

質問

表に奇数が並んでいる。上からm行　左からn列にある数をam,nとする。a２，３＝15である。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)a1、nをｎを用いて表せ。
(2)上の表のa1,nとan,1を結ぶ直線上にあるすべての数の集合を第n郡と呼ぶ。例えば、第3郡は、{7,8,11}である。このとき、第n群に含まれるすべての数の和を用いて表せ。
(3)251は問2で定めた第何群にあるか？又am,n=251とするとき、ｍとｎを求めよ。
表
1 3 7 13 21
5 9 15 23
11 17 25
19 27
29

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
>a[1,n]をｎを用いて表せ。

　a[1,n]=1+Σ[k=1,n] 2(k-1)=1+2(n-1)n/2=1-n+n^2 ...(答)

(2)
>上の表のa[1,n]とa[n,1]を結ぶ直線上にあるすべての数の集合を第n郡と呼ぶ。

転記ミス：第n郡　→　第n群

>例えば、第3郡は、{7,8,11}である。

転記ミス：第3郡と{7,8,11}　→　第3群と{7,9,11}

>このとき、第n群に含まれるすべての数の和を用いて表せ。

(1)より第n群の先頭a[1,n]=1-n+n^2
Σ[k=1,n] {a[1,n]+2(k-1)}=n(1-n+n^2)+2Σ[k=1,n] (k-1)
=n(1-n+n^2)+2(n-1)n/2
=n^3 ...(答)

(3)
>251は問2で定めた第何群にあるか？又a[m,n]=251とするとき、ｍとｎを求めよ。

第n群のnとa[m,n]のnと同じ文字を使うと混乱するので、第n群のnはn'と書いて区別することにする。

第n'群の先頭は(1)より　a[1,n']=1-n'+n'^2
　1-n'+n'^2≦251<1-(n'+1)+(n'+1)^2
　1-n'+n'^2≦251より n'^2-n'-250≦0 → 0＜n'≦{1+√(1001)}/2≒16.3
　251<1-(n'+1)+(n'+1)^2より (n'+1)^2-(n'+1)-250>0 → n'+1＞{1+√(1001)}/2≒16.3
　15.3＜n'≦16.3 → n'=16
よって、251は第16群にある。　(答)第16群
　m+n=n'+1=17
第16群の先頭はa[1,16]=1-16+16^2=241 で、公差2の等差数列であるから
　(251-241)/2=10/2=5より第16群の5+1=5番目
　∴251=a[m,n]=a[6,11]　(答)m=6,n=11