高校数学：数列 至急解答解説をお願いします

質問

問　1、2、3、4、5、6、7、8、9、0の10個の数字を繰り返し左から順に一列に並べて、数列 {an} を作る。

{an} : 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、・・・

この数列 {an} の各項を左から順に、第1群に1個、第2群に2個、第3群に3個、・・・、第m群にm個の数字が含まれるように群に分ける。

(1)数字1は、第1郡から第10群までに全部で何個現れるか。
(2)第55群の最初の数字を求めよ。また、第55群に含まれる数の総和を求めよ。
(3)数列 {an} において、数字7が25回目に現れるのは、第何群の何番目か。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

(1)数字1は、第1郡から第10群までに全部で何個現れるか。
＞第1郡から第10群までの数字の数は∑(i=1→10)i=10*11/2=55
55/10=5+5、数字10個毎に1個だから5個+1個で6個・・・答
(2)第55群の最初の数字を求めよ。また、第55群に含まれる数の総和を求めよ。
＞第1郡から第54群までの数字の数は∑(i=1→54)i=54*55/2=1485
1485/10=148+5だから第54群の最後の数字は5。
よって第55群の最初の数字は6・・・答
第55群に含まれる数の総和は6+7+8+9+0+45*5=255・・・答
(3)数列 {an} において、数字7が25回目に現れるのは、第何群の何番目か。
1回目7番目、2回目17番目、・・・・25回目247番目。
∑(i=1→n)i=n(n+1)/2＜247からn^2+n-494＜0をとくと
n^2+n-494=0の解がn={-1±√(1+4*494)}/2≒(-1±44.5)/2から
n^2+n-494＜0を満たす整数nの最大値は21。
第1郡から第21群までの数字の数は∑(i=1→21)i=21*22/2=231
247-231=16。
以上から数字7が25回目に現れるのは、第22群の16番目・・・答

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
大変な失礼をしてしまいました。
不快な思いをさせてしまい申し訳ありません。

即座の解答解説をありがとうございました。

回答No.4

QoooL

（１）　６回
正解。
55項なので、
・・・3、4、5
で終わります。
第1項、第11項、第21項、第31項、第41項、第51項

（２）
５４群までが１４８５
５５群までが１５４０
正解

１０ごとに繰り返すんですから、
1485÷10＝148　余り5
最後の数字は5

1540÷10＝154　余り0
最後の数字は0

第５５群は、
6、7、8、9、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、・・・0、1、2、3、4、5、　　6、7、8、9、0

6、7、8、9、0、1、2、3、4、5　を何回繰り返すか、をよく考えてみてください。
項数は
1540-1485
で求められますよね。

ちなみに私は、最近、お礼が言えない未成年投稿者が気になるので、そうした人々には対応しておりません。
先ほどは二重投稿になってしまってすみませんでした。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
大変な失礼をしてしまいました。
本当に申し訳ありません。

即座に解答解説をいただき、助かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

QoooL

書き間違えました。
最後の１行
×公比１の等差数列の和
○公差１の等差数列の和
です。

Ｓｎ＝１／２・ｎ（ｎ＋１）
という奴です。
Ｓ（ｎ－１）　はｎの代わりに　ｎ－１となります。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
見ず知らずのかたに大変な失礼をしてしまいました。
本当に申し訳ありませんでした。

詳細な解説解答をありがとうございました。

回答No.2

QoooL

書き間違えました。
最後の１行
×公比１の等差数列の和
○公差１の等差数列の和
です。

Ｓｎ＝１／２・ｎ（ｎ＋１）
という奴です。
Ｓ（ｎ－１）　はｎの代わりに　ｎ－１となります。

お礼

わざわざありがとうございます。
訂正をしていただいたのに、
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。

ありがとうございました。

回答No.1

QoooL

魚を与えるよりも、魚の釣り方を教えるべし

と言いますので、今はヒントだけにします。

（１）10群までの数字の数は、わかりますよね。
第1群に1個、第2群に2個、・・・、第10群に10個

例えばですけど、75個なら、
{an} : 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、1、2、・・・1、2、3、4、5、
←最後が75個目

75÷10＝7　余り5

（２）第55群の最初の数字　→　第54群の最後の数字　が気になる。
54群までの数字の数は、わかりますよね。
55群の最後までの数字の数も、わかりますよね。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、0　→10個毎に繰り返し
1+2+3+4+5+6+7+8+9+0＝　？

あとは、数字の何から始まって、何で終わっているかを考えれば、？を何倍して、あと何と何を足せば良いかがわかります。

（３）パソコンだと少し字がずれますけど。想像してください。
｛ａ　ｎ｝：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、1、2、・・・1、2、3、4、5、6、7、
　　　　　　　　　　　　　　　↑1回目の7　　　　　　　　　　↑2回目の7　　　　　　　　　　　　　　　　↑25回目の7

なら、25回目の7　は最初から数えていくつ目の数字かわかりません？
このような数列を書いてみましたか？
1回目の7　は第7項、2回目の7　は第17項、わかりやすーい問題で良かった。

で、例えばですけど、第100項は　第何群の何番目か。
という問題になったとします。
そこで、第ｍ群のｎ番目としましょう。求める数を変数（文字）で表すのはジョウトウ手段です。

（２）の問題に似てきます。
（ｍ－１）群までの数字の数を、式で表します。Ａ
ｍ群の最後までの数字の数も、式で表します。Ｂ

Ａ＜　１００　＜＝　Ｂ
この不等式を解くと、？？　＜　ｍ　＜　？？？
というのが出てきます。ｍは整数だから、ｍ＝　？

最後に、ｎ＝１００－Ａ
で答えが出ます。

（ｍ－１）群までの数字の数というのは、公比１の等差数列の和ですから、よく確認してみてください。

お礼

お礼が遅くなってしまい、本当に申し訳ありません。
人として、大変な失礼をしてしまいました。

詳しく解答解説をいただきありがとうございました。

補足

（１）　６回

（２）ピンときません（・・；）
　　　５４群までが１４８５、５５群までが１５４０
　　　ここからどうすればよいですか…？