微積 数学3

質問

次の問題を解けずに困っています。
助けていただければ幸いです。(1)から手が出ません。

kは定数。-2<=x<=2で定義された関数f(x)=k+x+root(4-x^2)について、
曲線C y=f(x)を考える。
(1)曲線Cとx軸が共有点を持つためのkの条件
(2)-2<=x<=2, 0<=y<=絶対値f(x) で表される領域をx軸の周りに一回転させてできる立体の体積Vを、kを用いて表せ。
(3) (1)のkの範囲でVが最小となるkの値と、その時のVの値を求めよ。

回答No.4

soyandbeefmilk · ベストアンサー

解いてみたら、少し間違った解説になった箇所がありました。(３)はkの二次式の平方完成で簡単に出ます。計算量はさほどでもないけれど、(１)微分でkの変域範囲を求める(２)立体の定積分を計算しkの式で表す　のは骨が折れました。長らくやってなかったから。(３)は(１)(２)が解ければ平方完成で楽には出ます、おまけの問題でしょうね。
答えだけ書いときます。(１)kを定数分離して、先の回答の方のように関数を置き直します。微分して増減表を書き極大値があることを知り、片辺に移項して-kとなっているもので共有点があるように-kの範囲を定めます。
(解)　-2√2=<k=<2　だと思うよ。kは定数なので、片辺に分離します。2つの関数f(x)とg(x)は値域に
前者はkを含み、k-2=<y=<k+2✓2　
後者は含まず、-2=<y=<2✓2　なのに気をつけよう。極値や値域を答えるのではないので後者でy=-kとすれば解が出ます。微分のややこしい計算ちゃんとできるんだね、えらい。根号の二乗は気を付けて下さい、両辺が正、をことわって二乗して外して下さい。
g(x)の極値は、x=✓2でのみ極大値2✓2をとっています。値域は-2=<y=<2✓2です。正確な計算力が試されますね！
(２)上で値域を言ったけどkの値で負側にグラフがあるかどうかは変わります。まあしかし体積求める式は同じことでπ×絶対値^2×dxなわけで、定積分を置換積分によってちゃんと正確に計算して下さい。積分区間の対応関係、定数項の不定積分分のθの一次の項の見落としに気を付けて下さい。実は私も見落としていた、計算ものは嫌いですから。定積分計算は本当に面倒臭いし置換積分はとりわけ特に面倒臭いんですがそれが数学なので。
(解)　V=π^2(k^2-(8/π)k+4)　だと思います。
(３)これでこの問いは平方完成で容易に解が出ます。
(解)　k=4/πのとき､Vは最小値 4π^2-16　をとる。

わたしは計算がやはり大変でした。

回答No.3

bellflaw17sai

とりあえず（１）だけ
k のことは忘れて　g(x)=ｘ＋root(4-x^2)
のグラフを　‐2以上2以下の範囲で書いてみましょう
もとのｆ（ｘ）はそれをｋだけｙ軸方向に平行移動したものです

曲線Ｃとｘ軸が共有点を持つということは
ｆ（ｘ）＝0となるｘが存在するということです

きっとｋが大きすぎたり、小さすぎたりしたらｆ（ｘ）＝0になる点がなくなるか、ｘ＜ー２、または２＜ｘのほうにずれるかするのでしょう

補足

(1)は微分して極大となるxを求めて解けました。
(2)は絶対値f(x)の概形が分からずお手上げです。
教えていただければ幸いです。

回答No.2

soyandbeefmilk

回答一番目の者です。『大豆と牛肉、牛乳』さんです。「確かtan」は、「確かcos」ですね。失敬。

回答No.1

soyandbeefmilk

東大理科系数学で出しそうな出題ですね。パワフルな問題です。一題で微分と積分の両方のパワフルな手計算力を問うています。解法は原則に従ったもので方針はすぐ定まりますが計算は相当しんどいでしょう。また２次式のルートをつまり無理関数を出してくる点から見ても教科書の最後までの正確な理解、面倒臭さ、関数として馴染みが薄い、のが伝統の東大理科系数学の問題だと推察致します。微分してグラフの概形を図示し定数分離法で概形グラフと共有点をもつ定数kの変域を求める。題意の立体体積を積分法により求める。ここで積分は二次の無理関数の積分なので確かtanによる置換積分法によるのでしょう。そして定数kを変数とする立体体積Vの式を得て、またそれを微分して題意を満たすkを求めます。
結局、微分→積分→微分とたどることになり解析学の基本原則を一題で３回やらせることになるわけです。しんどいから後回しにしたくなるか諦めたくなる出題です。正確な計算力が備わっているかを試しています。これをもし制覇できれば他者よりも合格へのアドバンテージ(有利性)を握れるでしょうね。頑張って下さい、答案は控えます、悪用されるといけないので。または過度に頭脳を使うとショックで入院をする羽目にもなりたくないので…(笑)