数学の「因数分解」について

質問

頭の悪さから、中学、高校のとき「因数分解」の意味も解き方も分からず、７０歳になってしまいました。出来ましたら、「因数分解とは何を求めようとする計算なのか？」「因数とはなんなのか？」「因数を分解するとはどういうことなのか？」猿にも分かるように教えて頂けませんでしょうか？よろしくお願い致します。いつも済みませんです。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

因数とは、約数のこと、と理解しておけばよいと思います。

６の約数（割り切れる数）は、２　と　３で、これを因数と呼びます。
因数分解は、６＝２×３　の様に割り切れる数で分解することを言います。

小学校で習う、素因数分解は、素数となる因数を見つけ出して、分解することを言います。

３０　＝　６×５　＝　２×３×５

因数は約数ですから、元の数字（６、６０）はどの因数でも割りれます。

中学、高校になると、二次関数（もしくはそれ以上の次数の関数）が出て来ますが、理屈は上と同じです。

x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)

(x+1)、(x+3)　も因数であり、この形に可能な限り小さい次数に分解することを言います。

これも因数ですから、左辺の二次関数は、右辺のどの因数でも割りれます。
文字式が入っても、因数の考え方は小学校で習った約数と同じです。

何の為かは、私も良く分かりませんが、直感的には大きな数、大きな次数を理解しやすい形に噛み砕くという風に捕らえています。
同じ因数を見つけ出せば、約分などする時に、数字を小さく（次数を小さく）出来るので、扱い易いという程度の理解です。

ご参考に。

お礼

ありがとうございます。この御説明だと私にも猿にも理解出来るような気がします。繰り返し、読み返して勉強します。ありがとうございました。

回答No.5

ORUKA1951

因数分解なんて放っときゃ良い!!
　因数とは、約数のことです。ある数は何と何を掛け合わしたものか？？？元の数を因数と言います。
　数学では、そもそも、「こんなこと何のために勉強するか」「なんの役に立つか」を教えてもらえないために、文字通り振るい落とすため、試験のための勉強になっちゃてますよね。
　因数分解が出てくる単元は二次方程式--一般式 y = ax² + bx + c で表せる関係式で、y軸との交点を出すために使われます。二次方程式が一般で登場することは少ないですが、
・一枚の板を切り分けて箱を作るとき、どの寸法で切れば無駄なく大きな箱を作れるか
・垂直に上向きに投げたら5mの高さまで届く。じゃ最も遠くに飛ばすためにはどの角度で、またその地点は？
　くらいしか思いつきません。
　ということは、先でより高度な学問をする時に必要になるとか、ふるい落とすためとかの消極的な理由・・・。積極的に考えると抽象的な概念に置き換えて数学的・論理的に考える方法を身につける。(^^)

　本題です。二次方程式の因数分解なんて、二次方程式の解の公式( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E8.A7.A3.E3.81.AE.E5.85.AC.E5.BC.8F )ひとつ覚えておきゃ、済む話です。因数分解が解の公式を使わなくても出来れば早いですが、それは解の公式を使わなくてもできる程度の簡単な極々一部の、極めてまれな方程式ですよ。エックス、イコール、ニエーブンノ、マイナス、ビー、プラスマイナス、ルート、ビージジョウ、マイナス、ヨン、エー、シー・・今でも覚えている。

＞「因数分解とは何を求めようとする計算なのか？」
　車が高さ10mの道路から飛び出してしまった。何メートル先に落下するでしょう・・・と言う値をもとめるため

お礼

羨ましい！すごく基本的に理解しておられ、私にも猿にも分かるように説明して頂いています。ありがとうございました。これからもよろしく御願い致します。ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>「因数とはなんなのか？」

単位値と自身値でしか割り切れない数値や数式、でしょうかネ。

整数の例
　3：単位値=1 と自身値=3 でしか割り切れない、ので素(因)数。
　6：単位値=1 と自身値=6 のほか 2 や 3 でも割り切れる、ので非素(因)数。

数式の例 (多項式)
　x+1：単位値=1 と自身値=x+1 でしか割り切れない、ので因数。
　x^2+2x+1：実は (x+1)*(x+1) に等しい。単位値=1 と自身値=x^2+2x+1 のほか (x+1) でも割り切れる、ので非因数。
　x^2+1：この例では、「世界」が違うと判定が分かれる。
　　実数界では (x+a)*(x+b) の形に「分解」できない。
　　つまり、単位値=1 と自身値=x^2+1 でしか割り切れない、ので因数。
　　複素数界では (x+i)*(x-i) の形に「分解」できる。
　　つまり、単位値=1 と自身値=x^2+1 のほか (x+i) や (x-i) でも割り切れる、ので非因数。

>「因数を分解するとはどういうことなのか？」

因数分解する目的は、整数なら「最小公倍数」や「最大公約数」を求めたい場合など、数式なら微分方程式などの「関数方程式」の解のパラメータを求めたい場合など、イロイロです。

当方など知り得ない利用分野は、マダマダありそうですけど…。

お礼

専門的に御説明頂き感謝申し上げます。この御教示のひとつひとつを勉強させて頂いて理解に結び付けたいです。ありがとうございました。

回答No.2

keiryu

大きな塊を丸ごと捉えるのは中々難しいことがあります。一見すると屑の山でも「分解」してみると貴金属を含んだがらくただったりします。細かく崩してみると見えるものもある。

　1593なんて数、9で割り切れるのかな、と思っても即座に割り切れることを見抜くのは難しいでしょ。これが、1593＝3×3×3×59と表記されていれば、9で割れるのは1593と表記されている時より、やさしくなりますよね。数をこのように掛け算の形に書き表すことを「(素)因数分解」と呼ぶことは承知でしょう。これも、因数分解の一種です。この3とか59を(素)因数といいますが、まあ、大雑把に砕いていうと、「事物のもと」ですね。
　Ｘ^2+5Ｘ-14のような文字の式があります。これを(Ｘ+7)×(Ｘ-2)のようにすることを因数分解と言います。そして、この(Ｘ+7)と(Ｘ-2)を因数と呼んでいます。因数分解のやり方は、数学の教科書等で調べるといいと思います。
　これをもう少し、具体的にいうと、長方形の面積の出し方と考えてみるといいかもしれません。
縦が(Ｘ+7)で横が(Ｘ-2)の長方形の面積は、(Ｘ+7)×(Ｘ-2)で求めることができ、その面積は、
Ｘ^2+5Ｘ-14となります。そうです。(Ｘ+7)×(Ｘ-2)＝Ｘ^2+5Ｘ-14。普通、文字の式の場合、
(Ｘ+7)×(Ｘ-2)ではなく、×を省いて、Ｘ^2+5Ｘ-14＝(Ｘ+7)(Ｘ-2)と表記します。　

　何はともあれ、因数分解とは、いくつかの掛け算の塊(この塊を因数と呼ぶ)に分解し、丸ごとでは掴めなかった事物の中身を部品の形にして、眺めてみよう、と言うことです。そうすると新たな姿も見えるし、掴みやすくもなるかな、と言うことです。

お礼

猿にも私にも分かるような気がします。御教示を試算しながら勉強します。お忙しいところありがとうございます。

回答No.1

info22_

下記の参考URLに因数分解の概念や因数分解の仕方が詳しく載っていますのでご覧ください。
通常、数の因数分解と多項式の因数分解に大きく分けて考えます。
いずれも因数に分解して因数の積の形に表すことを因数分解と言います。

数の因数分解は素因数（素数の因数）とよぶ因数の積に分解することから素因数分解とも呼ばれます。
　（例1）490=2×5×7×7
この分解された2,5,7という因数がいずれも素数です。
この因数分解も非常に大きな素因数の積に分解される場合には、極めて因数分解が困難になります。

多項式の因数分解
◆整式の因数分解

　（例2）8x^2 +2x-15=(2x+3)(4x-5)
この因数分解は「たすき掛け法」を使って因数分解します。
整式のxの係数や因数のxの係数は整数や有理数の場合のケースです。
(注) x^2は 「xの２乗」を表します。「^」の記号に続く「2」はべき乗の指数を表します。

　（例3）２変数多項式の因数分解
　　6a^2 -7ab-3b^2=(2a-3b)(3a+b)

　（例4）３変数多項式の因数分解
　　(c-b)a^2 +(c-a)b^2 -(a+b)c^2 +2abc=(c-b)(a^2 +(b-c)a-bc)=(a+b)(b-c)(c-a)

　（例5）3x^3 +2x^2 -6x-4=(3x+2)(x^2 -2)
この例は有理数の範囲での因数分解の例です。
同じ整式（多項式）を無理数の範囲までで因数分解すれば

　（例6）3x^3 +2x^2 -6x-4=(3x+2)(x-√2)(x+√2)
という因数分解となります。

◆有理多項式の因数分解
　（例7）x^2 +(1/6)x-(1/3)=(1/6)(6x^2+x-2)=(1/6)(3x+2)(2x-1)=(x+2/3)(x-1/2)

◆複素数の範囲での多項式の因数分解
　（例8）x^3 -x^2 +x-1=(x-1)(x^2+1)　(有理数までの範囲の因数分解)
　　　=(x-1)(x+i)(x-i)
(注)「i」は虚数単位です。

◆複素多項式の因数分解
　(例9) x^3 +(√3-i)x^2+(2-i√3)x+2√3=(x^2 -ix+2)x+(x^2 -x+2)√3
=(x^2-ix+2)(x+√3)=(x+i)(x-2i)(x+√3)

■中学数学レベルの因数分解の例
(参考URL) ttp://math.005net.com/yoten/inbun1.php
（注）先頭にhを補ってください。
■高校数学レベルの因数分解の例
（参考URL）ttp://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/study/s_insubunkai.htm

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/因数分解

お礼

丁寧な御教示に感謝致します。内容のひとつひとつを辿りながら勉強します。ありがとうございました。