教えて下さい。

質問

１）3^2-2^2>1^2
　　　　 2)33^2-22^2>11^2
　　　　 3)333^2-222^2>111^2
:
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:
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　　　　 n)3333～n^2-2222～n~2>1111～n^2

上記不等式を、数学的帰納法（？）による証明方法がありましたら、教えて下さい。

回答No.3

shuu_01 · ベストアンサー

問題文のように

n)3333～n^2-2222～n~2>1111～n^2　というように記載することとします

n ＝ 1 の場合、

１）3^2-2^2 ＝ 9 ー 4 ＝ 5 > 1^2 ＝ 1

と不等式が成り立つことが確かめられます

任意の自然数 k に対し、

k)3333～k^2-2222～k~2>1111～k^2　が成り立つと仮定すると

両辺を 10倍した式も成り立ち、両辺に 3 - 2 ＝ 1 を加えた

k+1)3333～(k+1)^2-2222～(k+1)~2>1111～(k+1)^2　も成立します

以上から、数学的帰納法により、任意の自然数 n について

n)3333～n^2-2222～n~2>1111～n^2　が成立します

PS: 数学的帰納法なんて知りませんでしたが、Wikipedia 数学的帰納法
　　http://ja.wikipedia.org/wiki/数学的帰納法
　　を読んで、回答しました

お礼

回答頂きありがとうございました。　　　　　　　　　　　七面鳥の所を読んでも、良く理解できませんでした。
何回も読みたいと思います。

回答No.2

gohtraw

左辺：ａ＾２－ｂ＾２
右辺：（ａ－ｂ）＾２
と置き換えると　左辺＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）
ａ－ｂ、ａ＋ｂともにゼロではなく、ａ＋ｂ＞ａ－ｂなので・・・

というのはダメ？

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
左辺は 3^2や 2^2で括り出して 111・・・11(nケタ)の形にしてしまえばいいです。
そうすれば、等比数列の和として計算できます。
右辺も同様です。

ですので、帰納法まで用いなくとも、証明はできます。

お礼

ありがとうございました。　確かに、目からうろこです。