教えて下さい

質問

円に内接する三角形ＡＢＣについて、頂点ＡからＢＣにおろした垂線とＢＣの交点をＨとする。ＡＢ＝ＡＣ＝3√10、ＢＣ＝6であるとき

円の半径を求めよ

です。わたしは三角形ＡＢＣは二等辺三角形なので、垂線の足のＨは円の中心をとおり、円の中心はＡＨを2：１に内分すると考え、中心とＢを結び、三角形ＢＣＨにおいて三平方の定理を使い、3√2とだしたのですが、あっているでしょうか？

回答No.2

yyssaa

わたしは三角形ＡＢＣは二等辺三角形なので、
垂線の足のＨは円の中心をとおり、円の中心はＡＨを2：１に内分すると考え、
中心とＢを結び、三角形ＢＣＨにおいて三平方の定理を使い、3√2とだしたのですが、あっているでしょうか？
＞「・・・・円の中心をとおり、」までは正しいですが、
「円の中心はＡＨを2：１に内分すると考え」は間違っています。
半径をr、円の中心をOとすると、△OBHで三平方の定理により
OB^2=BH^2+OH^2→r^2=3^2+OH^2=9+OH^2・・・・・(1)
△ABHで三平方の定理により
AB^2=BH^2+AH^2=BH^2+(AO+OH)^2→(3√10)^2=3^2+(r+OH)^2・・・・・(2)
(1)(2)を連立で解いて半径rを求めると、
(2)より90=9+r^2+2r*OH+OH^2
(1)を代入して90=9+9+OH^2+2OH√(9+OH^2)+OH^2
=18+2OH√(9+OH^2)+2OH^2→OH√(9+OH^2)=36-OH^2
両辺を二乗して
OH^2(9+OH^2)=36^2-72OH^2+OH^4、ここでOH^2=xとおいて整理すると
81x=36^2→x=16→OH^2=16→OH=±4、OH＞0だからOH=4
(1)に代入してr^2=9+16=25、r=±5、r＞0だからr=5・・・答

お礼

ご回答ありがとうございます。間違いのご指摘と丁寧なご回答感謝いたします。

回答No.1

gohtraw

＞円の中心はＡＨを2：１に内分する
その根拠は何でしょうか？

私だったら
（１）△AHCについて三平方を使ってAHの長さを出す
（２）円の中心をOとして、OAの長さ（つまりOCの長さでもあり、
円の半径でもある）をｘとしたときに△OHCについて三平方を
使って
OH^2＋CH＾２＝OC＾２
（AH－ｘ）＾２＋３＾２＝ｘ＾２
としてｘを出します。

お礼

ご回答ありがとうございます。ＡＨからＡＯをひいて三角形ＯＨＣで三平方を使うのが浮かびませんでした。よくわかりました。感謝致します