三角形の性質

質問

AB＞ACである三角形ABCにおいて、Aから直線BC上に下ろした垂線AH上に点Aとは異なる点Pをとると、AB－AC＜PB－PCとなることの証明ですが三平方の定理を使わずに直観的、図形的な方法を教えてください

回答No.5

staratras · ベストアンサー

以下の証明は三平方の定理や三角形の相似を使っていません。

三角形ABCの辺AB上にAC’=ACとなるように点C’を、また三角形PBCの辺PB上にPC”=PCとなるように点C”をそれぞれとる。AB-AC=AB-AC'=BC'、PB-PC=PB-PC"=BC" だからAB-ACとPB-PCの大小を比較するには、BC’とBC”の大小を比較すればよい。

ここで点Aを中心とする半径ACの大円と点Pを中心とする半径PCの小円を考えると、点Pの位置にかかわらず、この2円は点Cのほか、辺BCにＡから降ろした垂線をAHとするとCH＝DHとなる辺BC上の点Dで必ず交わる。なぜならば三角形AHC≡三角形AHDよりAC＝AD、三角形PHC≡三角形PHDよりPC＝PDだからである。

小円は両端を除く劣弧CDの間でのみ大円の外側にあり、それ以外では大円上または内側にある。C”は小円上の点である。点Pは垂線AH上にあるが、点Pが点Aに一致したとき点C”は点C’と一致し、点Pが点Hに一致したとき点C”は点Dと一致する。この両端以外では点Pの位置にかかわらず点C”は大円の内部にある。

ここで点Bを中心とする半径BC’の円を考えると、この円は点C’で大円と接するので大円の内部の点C”についてと、点C’を除く大円上の点C”(点Dと一致した場合）については、常にBC’<BC”が成り立つ。よってAB-AC<PB-PC である。

お礼

ご回答ありがとうございます。
よく理解できました。２円の交点は最大２個３領域。円の領域内の点の中心からの距離は当然半径より小となるということですね。このような円の使い道初めて知りました。どうもありがとうございました。

回答No.7

shuu_01

No.6 です

あっ！ 自分で証明してみてから、No.5 さんの証明を読むと
よくわかりました

No.5 さんの証明と僕の証明とまったく同じですね

ごめんなさい

回答No.6

shuu_01

No.5 さん、証明すごいです

でも、この証明に限らず、文章を読むの苦手なので、
後でゆっくり解読してみたいです

その前に自分も証明を考えたので、描きます

AH について、C と対象な点を C' と置きます
AB － AC というのは、A を中心、AC’ ＝ AC を半径
とした円 （水色の円） と AB の交点を D とすると
BD （青い線） となります

（no.5 さんの回答を読む前にこの絵を描いてました
　今回の問題を解く時、自然な発想と思います）

水色の円と BP の交点を Q とおくと、

BD < BQ となります （証明はしょりました。ごめん）

次ぎに PB － PC を考えるため、P を中心、
半径 PC’ ＝ PC の円 （ピンク色の円） を描き、
BP との交点を R とすると、
PB － PC は BR （赤い線） となります

P は AH上の点ですので、水色の円と比べ、
ピンク色の円の方が小さいです

水色の円とピンク色の円は C、C' で交わっており、
C’C を結ぶ線より下では ピンク色の円は水色の
円の外に出ていますが、それ以外は水色の円の
内側にあります

ですので、BQ ＜ BP となります

BD < BQ と合わせて、BD < BQ ＜ BP となり、

BD ＜ BP

AB － AC ＜ PB － PC となります

* 途中、長たらしくならないため、証明をはしょった
　部がありますが、納得できない箇所ありますで
　しょうか？

** というか、文章を読むの苦手で、No.5 さんの
　証明、読んでないのですが、同じだったらごめん
　なさい

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
　＞ですので、BQ ＜ BP となります
　＞BD < BQ と合わせて、BD < BQ ＜ BP となり、
　＞BD ＜ BP
のBPはBRですね。
途中、三角形の１辺は他の２辺の和より小、というのを2回ほど紙に書いて確認しましたが、読みながらすいすいと理解できていきました。
ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

たとえば、H から AB (PB), AC (PC) へ垂線を立てて相似三角形に分割し、相似比を使って説明する手はありそうですけど、実質的には「三角比」を使うわけで、あきらかに「三平方の定理を使わずに」に抵触しそう。

相似比を禁じ手にされると、説明不能なのかも…。

お礼

ご回答ありがとうございます。
相似を活用する手がありましたか。挑戦してみます。（自分の知っている三平方の証明は面積を用いており、合同ならともかく縦×横が同じなら同じとする論法、2次元から1次元がすこし気になっていますので。しかし相似（2角が同じなら辺の割合は同じ）は1次元の話のような気がします）

回答No.3

shuu_01

＞　で上の2つの式を引き算すると

不等式って、足し算しても良いけど、
引き算はダメなんじゃなかったっけ？

回答No.2

shuu_01

なんかわかりませんでした

僕は先生にダメと言われても気にしない方でしたので、

AH ＝ 5、BH ＝ 3 という三角形で、BH ＝ x として、

y ＝ √（x^2 + 5^2）－ √（x^2 ＋ 3^2) のグラフを

描いてみました

確かに、ｘ=０の時、最大値 2、x が大きくなると

どんどん x 軸に近寄って行きますが、正ですね

どうやったら、三平方の定理を使わず、直感的、
図形的に証明できるのでしょうね

お礼

具体例（添付画像）ありがとうございました。
ある値で最大値、最小値をとるものはそこに向かえばいいのですが限りなく近づくがその値に決して到着しない。こういう問題はややこしいですね。

回答No.1

ggnkty

数学的にやるなら
三角形はある一辺は他の二辺の合計よりは短くないと成り立たない。

だからABPという三角形を考えると
AP+PB>AB

APCの場合は
AP+PC>AC

で上の2つの式を引き算すると

（AP+PB）-（AP+PC）=PB-PC>AB-BC

が成り立つ。

図形的に考えるのは画像添付しました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問の出所は青チャート式数学Aという本ですが、解答はなくヒントとして、AC+PB＞AB+PCとして考えよ、としかかいてありません。添付いただいた画像をヒントにすこし考えてみます