数学解析のラプラス変換についてです

質問

x`` + 2x` + x = e ^ -(t-1) u1(t) x(0)=x`(0)=0で u1は単位関数です
この問題について単位関数と e ^ -(t-1)がかけられてるのですがどうやって計算を進めたらいいのかわかりません　ですので上の問題の解き方をかいてもらえないでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>単位関数と e ^ -(t-1)がかけられてるのですがどうやって計算を進めたらいいのかわかりません
ラプラス変換はt≧0で考えていますので
　u1(t) ＝1(t≧0), ＝0(t＜0)
　e ^(-(t-1)) u1(t)＝e^(-(t-1)) (t≧0), ＝0 (t＜0)
ですから t≧0では　単に e^(-(t-1))と u1(t)を掛けない場合と同じです。

　x`` + 2x` + x = e ^(-(t-1)) u1(t)
⇒ x`` + 2x` + x = e^(-(t-1)) （t≧0)

ラプラス変換すると　e^(-(t-1)) = e*e^(-t) (t≧0)であることから
　s^2 X(s)-sx(0)-x'(0)+2(sX(s)-x(0)) +X(s) = e/(s+1)

初期条件x(0)=x'(0)=0を代入して
　(s^2 +2s+1)X(s)=e/(s+1)
　X(s)=e/(s+1)^3
　x(t)=e L{1/s^3}e^(-t)=(e/2)(t^2)e^(-t) (t≧0) ...(答え)

回答No.1

Tacosan

右辺が u1(t) だったらできる?

右辺が e^(-t) u1(t) だったら?