ラグランジュ関数からの連立方程式の解き方について

質問

3つの変数ｘ、ｙおよびｚは1000＝１００ｘ+３００ｙ+２５０ｚを満たしており、これらの変数からなる関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＝ｘ＾２ｙ＾３ｚ＾５の極値を求める問題を考える。

・本問題の極値を実現するｘ、ｙ、ｚの値を求めるためのラグランジュ関数を定義せよ。
・一階の条件を満たすｘ、ｙ、ｚを求めよ。
・縁つきヘッセ行列を用いて（３）で求めた組み合わせがｆ（ｘ、ｙ、ｚ）の極大と極小のいずれを実現するか示せ。

という問題で、ラグランジュ関数を
L(ｘ、ｙ、ｚ)＝ｘ＾２ｙ＾３ｚ＾５＋λ（1000－100ｘ－300y－250z）
として

1000－100ｘ－300y－250z＝０
2xy^3z^5－100λ＝０
3ｘ^2y^2z^5－300λ＝０
5ｘ^3y^3z^4－250λ＝０

と書いたのですが、ここからｘ、ｙ、ｚを求めようと色々変形したり代入したりしてもうまくいかず困っています。解が出れば後の問題のやり方は分かると思うのですが・・。
このような式の場合にスムーズに解を導くコツなどがありましたらどうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

>ここからｘ、ｙ、ｚを求めようと色々変形したり代入したりしてもうまくいかず困っています

うまくいかないのは、ラグランジェアンをｚで（偏）微分した式

　　　5ｘ^3y^3z^4－250λ＝０

が正しくないからではありませんか？正しくは

　　5x^2y^3z^4 -250λ= 0

です。この訂正した式と他の２つの式（ｘで微分した式とｙで微分した式）からλを消去すると

(2/3)y/x = 100/300
(2/5)z/x = 100/250
(3/5)z/y = 300/250

得る（λをどうやって消去したかわかるように約分しないでおきました！）。これらと第1番目の式から簡単にｘ、ｙ、ｚが求まるでしょう！

お礼

少し遅れてすいません;きちんと計算する事が出来ました。ありがとうございました。

回答No.2

statecollege

解答No1で、

「この訂正した式と他の２つの式（ｘで微分した式とｙで微分した式）からλを消去すると

(2/3)y/x = 100/300
(2/5)z/x = 100/250
(3/5)z/y = 300/250

」と書きましたが、導くことはできたのでしょうか？あとは、これらを整理するだけだ。

　　y/x = 1/2 ⇒　y = (1/2)x

z/x = 1 　⇒　 z = x

z/y = 2 ⇒　z = 2y

を得る（最後の式最初の式と2番目の式から得られるので、余分だが。。。）これらを、

1000 = 100x + 300y + 250z

に代入すると、

1000 = 100x + 300・(x/2) + 250x

となり、これを解いて、

x = 2

よって、y = 1, z = 2を直ちに得る。