関数の極限

質問

z=f(x,y)=x^3-6xy-21x+3y^2+12の極大値と極小値を教えてください。
答えがないのでお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

z=f(x,y)=x^3-6xy-21x+3y^2+12　　　　(1)

∂z/∂x=3x^2-6y-21=0　　　　　　　　　　(2)

∂z/∂y=-6x+6y=0　　　　　　　　　　　　　(3)

を連立して極値を与える点を求める

(3)より

x=y

(2)へ代入

x^2-2x-7=0　　　(4)

x=1±2√2

x=yのとき

z=x^3-3x^2-21x+12　　　　(5)

これは3次曲線であり、極値はこの上にある。

(5)のグラフはx=1-2√2で極大値、x=1+2√2で極小値をとる。

(4)を使って(5)の次数を下げていくと

z=-16x+5

よって

極大値＝-16(1-2√2)+5=32√2-11

極小値＝-16(1+2√2)+5=-32√2-11