地球を飛び出すのに必要な速度の求め方教えてください

質問

すごい宇宙講義という本に、地球を飛び出すのに必要な速度を求めてあるのですが、
　「0=1/2mv~2+∫[R,∞](-GmM/r)dr」　と書いてありました。

万有引力の式は、∫[R,∞](-GmM/r^2)dr すなわちｒを二乗してあると思うのですが、
こちらはなぜ一乗なのでしょうか。

ミスプリでしょうか。それとも、第二宇宙速度を求めるときは一乗になるのでしょうか・・・？？
結構調べたのですが、分からなくて気になってしまいます。

どなたか、お分かりの方教えていただければ、大変うれしく思います。
よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

いや、質問文に書かれている通りなら誤植でしょ。正しくは

0=(1/2)mv~2 + (-GmM/R)

もしくは

0=(1/2)mv~2+∫[R,∞](-GmM/r^2)dr

ですよ。

＞0=1/2mv~2+∫[R,∞](-GmM/r)dr

では積分結果が対数になってしまう。

お礼

とてもすっきりしました。
本当にありがとうございます。
私の知らない暗黙のルールでもあるのかと調べまくっていました。

ありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

#1です。
すいません。勘違いしていました。

全体としては力学的エネルギーの式なのですが、右辺第2項は
「万有引力に逆らって無限遠方から近づけた仕事」として位置エネルギーを与えています。
ですので、積分の項は指摘のとおりミスプリでした。

積分の計算は、以下のようになります。
∫[∞→R] GMm/r^2 dr＝ [ -GMm/r ][∞→R]＝ -GMm/R

失礼しました。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
理解できました！！
感謝いたします！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
書かれているのは、力学的エネルギーに関する式です。
ですので、右辺第2項は万有引力による位置エネルギーを与えています。
この式はミスプリではなく、正しい式です。

お礼

ご回答いただき、大変ありがとうございます！

それぞれの地点での万有引力の位置エネルギーということ理解しました。

もしよろしければ、
∫[R,∞](-GmM/r)drの積分の方法も教えていただけたら有難いです。

よろしくお願いします。