到達高度

質問

この問題が分かりません・・・
万有引力が距離の逆二乗で減ることを考慮して、質量mの物体を初速度vで垂直に投げ上げた時の到達高度hを表し、さらに、重力加速度を一定としたときの到達高度との相対誤差が1%になるような高度を求めよ。ただし地球の半径はＲとする。

エネルギー保存則から
1/2mv^2 - GMm/R = 0 - GMm/(R＋h) がなりたち

h = v^2 R(R＋h)/2GM　…(1)

また、重力加速度一定とすると
1/2mv^2 = mgh より
h = v^2/2g 　…(2)

➁/(1) = 1/100 より

h = 100GM/Rg - R
≒635500km となったのですがどうも自信がないです…

また、解答には　h = Rh/(R-h)　という等式が出てきたのですが意味が分かりません

どなたかご教授ください_(_^_)_

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

まず，式をテキストで書くときには細心の注意を払わないといけません．
1/2mv^2 は (1/2)mv^2 なのか，1/(2mv^2) なのか？
v^2 R(R＋h)/2GM は {v^2 R(R＋h)/2}GM なのか，v^2 R(R＋h)/(2GM) なのか？
どうも混在しているようです．

この問題は，到達高度が万有引力が距離の逆二乗で減ることを考慮した場合と
重力加速度一定の場合とで違うことが主要内容ですね．
それなのに両方とも同じ h で書いちゃいけません．
例えば前者の場合は h_1，後者の場合は h_2 で書くなど．

エネルギー保存則は，式をちゃんと書いて
(1/2)mv^2 - GMm/R = 0 - GMm/(R＋h_1)
であっていますが，これを h_1 について解くのですよね．
(1)で右辺に h が残っているのは何？

h_1 と h_2 の違い(誤差)が 1%ですよね．
➁/(1) = 1/100
じゃ，到達高度が100倍違うことになっちゃいますよ．

> また、解答には　h = Rh/(R-h)　という等式が出てきたのですが意味が分かりません

本の解答？
左辺の h と右辺の h とは意味が違うのでしょう．
どちらかが h_1，もう一方が h_2 でしょう．
どちらの場合が到達高度が高くなるか考えたら，
どちらがどちらかすぐにわかりますよね．

お礼

ありがとうございました！