曲線y=ax^2+bxは点（１，１）を通るとする。

質問

曲線y=ax^2+bxは点（１，１）を通るとする。この曲線と直線ｘ＝１、およびｘ軸で囲まれた図形をｘ軸のまわりに１回転してできる立体の体積をｖとする。ｖを最小にするa,bの値とそのときのｖの値を求めよ。 という問題ですがまず(1,1)を通ることから、b=1-aと表せることはわかります。しかしわからないのは積分範囲で上端は当然1ですが下端はx軸と交わるｘの値と考えることからy=ax^2+bxよりax(x+b/a)=0,x=0,-b/aで、積分範囲の下端が-b/aか0となりこれだと積分しても大小が比較できないように思われます。この場合どのようにして解けば良いのでしょうか？どなたか教えて頂けないでしょうか？

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#3です。

>(1)この種の問題ではy軸の負の値の図形の回転体の体積も考えるのですか？
問題文からして考えないとダメです。

>(2)だとしたら、ｘ軸との交点がx=0、ｘ＝1-(1/a)で1-(1/a)が0より小さい場合、つまり積分区間の上端が1,下端が1-(1/a)で
体積V=π∫[1-(1/a),0] {-x(ax+1-a)}^2 dx
　　+π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx
　　=π∫[1-(1/a),1] {x(ax+1-a)}^2 dx
とあらわせるから結局大小比較したときに回答者様がお答えくださった体積をV1、こちらの体積V2とするとV1<V2となるということですよね？

そうです。
積分区間[0,1]の体積をV1,積分区間[1-(1/a),1]の体積をV2と
積分区間[1-(1/a),0]の体積をV2,求める全体の体積をVとおくと
a≦0,a≧1の時　V=V1
　V1=(π/30)(a^2 -5a+10)
　　=(π/30){a-(5/2)}^2+(π/8)
　a=5/2,b=-3/2の時 Vの最小値(π/8)
特に
　a=0,b=1では　V=V1=π/3 > π/8
　a=1,b=0では　V=V1=π/5 > π/8
であることに注意。

0<a<1の時 V=V2=V1+V3
　V1=(π/30){a-(5/2)}^2+(π/8)>π/5 (a→1のときV1→π/5)
　V3={π/(30a^3)}{1-(1/a)}}^5 >0 (a→1のときV3→0)
　V2=V1+V3 > V1 > π/5(∵0<a<1)
(参考)
　V2=(π/30){10a^2 -5a+1)/a^3
なのでaの全範囲では
　Vの最小値は a=5/2,b=-3/2の時　π/8となる。
Vをグラフに描いたのを添付しておきます。

>(3)(1)で疑問に思ったようにy軸の負の値の図形の回転体の体積も考えるという発想はx軸と曲線に挟まれた図形の回転体の体積という意味合いから考えられているのだとして、

そうです。たまたま回転軸がx軸になっているだけでyの値の絶対値|y|
が回転半径なのでyの負の時も考えないといけませんね。

>だとしたら、a<0の場合、x軸との交点がx=1-(1/a),0で積分区間の上端が1-(1/a),下端が0となり、x=1という直線の境界線の意味がなくなってしまうように思われます。

そうではないです。y=x(ax+1-a)とx軸との交点のx座標は確かに
　x=1-(1/a),0
a<0で 1-(1/a)>1
ですが、考えている回転体Vは
　y=x(ax+1-a)とx軸(y=0)とx=1(積分区間の上限)
で囲まれた領域なので
a<0の時の　Vの積分区間は[0,1] です。つまり V=V1です。

従って以下は質問者さんが混乱(思い込み)しているだけでよく考えれば
間違いだと気が付くでしょう。

回答No.5

MarcoRossiItaly

No.4です。

そうですね、ごめんなさい。
[0,1]で積分するものと、勝手に錯覚してしまっていました。

けれども、何かしら、問題文が不完全なのではないでしょうか。

0<-b/a(=1-1/a)<1の場合、通常は、「曲線、x=1、x軸に囲まれた図形」と言われたら、[-b/a,1]の範囲「だけ」で積分するのだと思います。

ただ、その範囲での体積だと、例えばy=1000x(x-999/1000)=1000x^2-999xみたいな式でも問題文に合致する関数となるので、aをいくらでも大きくし、bをいくらでも小さくできることになって、つまり最小値が存在しないことになってしまいます。

また、a<0の場合ですが、b=1-a>1となることから、積分の範囲は[1,-b/a]で計算することとなりますね。
この場合もやはり、a、bの値の取り方によって、最小値が存在しないことになってしまうと思います。

回答No.4

MarcoRossiItaly

※No.3さんのご回答があるので、ベストアンサーは辞退します

No.3さんのように場合分けを実行してみると、結果的には、共通の式で計算できることが分かります。
式を平方するから、関係ないのですね。
（そのことを理解させるための問題ともいえるでしょう）

なおa=0の場合への言及についてですが、1次・2次関数のグラフの形状を考えれば、a=0で体積が最小になることはないのですが、これを手っ取り早く説明するには、実際に体積を計算してみればよいでしょう。
a=0のときにこの関数は1次関数で、回転体は円錐となるので、錐の体積の公式により、体積はπ/3です。
最小ではないことが確認できました。

補足

回答ありがとうございます。no.3様の補足欄に補足させて頂きました。よろしければご覧ください。

回答No.3

info22_

>まず(1,1)を通ることから、b=1-a …(1) と表せることはわかります。
このとき
　y=ax^2 +bx=x(ax+1-a) …(2)
このグラフは

a≦1の時　0<x≦1の範囲でx軸との交点を持たないので
　体積V=π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx…(3)
　となります。
a>1の時　0<x≦1の範囲でx軸との交点x=1-(1/a)を持つので
体積は2つの部分の和となります。
　体積V=π∫[0,1-(1/a)] {-x(ax+1-a)}^2 dx
+π∫[1-(1/a),1] {x(ax+1-a)}^2 dx
=π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx
と非積分関数が同じ式になるので積分を１つにまとめられて
(3)と同じ体積Vの式になります。
なので体積については
0<x≦1の範囲で場合分けしないで共通に扱えます。

Vの積分を計算すると

　V=(π/30)(a^2-5a+10=(π/30){a-(5/2)}^2+(π/8)≧π/8
となってa=5/2の時、Vの最小値＝π/8となります。
このとき(1)から　b=-3/2となります。

補足

回答ありがとうございます。何点か疑問に思ったので質問させて頂きます。
(1)この種の問題ではy軸の負の値の図形の回転体の体積も考えるのですか？
(2)だとしたら、ｘ軸との交点がx=0、ｘ＝1-(1/a)で1-(1/a)が０より小さい場合、つまり積分区間の上端が1,下端が1-(1/a)で体積V=π∫[1-(1/a),0] {-x(ax+1-a)}^2 dx
+π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx
=π∫[1-(1/a),1] {x(ax+1-a)}^2 dx
とあらわせるから結局大小比較したときに回答者様がお答えくださった体積をV1、こちらの体積V2とするとV1<V2となるということですよね？
(3)(1)で疑問に思ったようにy軸の負の値の図形の回転体の体積も考えるという発想はx軸と曲線に挟まれた図形の回転体の体積という意味合いから考えられているのだとして、だとしたら、a<0の場合、x軸との交点がx=1-(1/a),0で積分区間の上端が1-(1/a),下端が0となり、x=1という直線の境界線の意味がなくなってしまうように思われます。そうなりますと、問題としての解釈が難しく、問題文の意味をとらえにくい内容となってしますのでこの考え方は違うように思われます。
以上のことが気になったのでお答え頂ければ幸いです。

回答No.2

151A48

ずるいようですが，囲む範囲にもう一つ，　ｙ軸　という条件はついていませんか？

補足

回答ありがとうございます。問題文の内容は全て書いたのでそのような条件はありませんでした。

回答No.1

MarcoRossiItaly

では、-b/a<=0と-b/a>=0に場合分けしてそれぞれ計算してみてはいかがですか？

また、a=0のときのことも言及しないといけないでしょうね。
その際には-b/aと書けないので。

補足

回答ありがとうございます。a=0つまり一次式なので直線ですね。