線分に分点を設定したとき 長さの比が必ずt:1-t

質問

質問1
任意の2本の線分を考えます。
このとき2線分の長さ比は、必ずしもt:1-tで表せるとは限りませんよね
（tは任意の実数）
直感的に表すことはできないと思うのですが、うまく証明できませんでした
証明を教えてください。

質問2
任意の線分AB に　任意の分点O を設定し
線分AO と　線分OB　に分けたときには
線分AO と　線分OB　の長さの比は
必ずt:1-tで表せますよね？
（tは任意の実数）
このことも証明できませんでした。
証明を教えてください。

※ちなみにこの分点は　内分点であるケース　外分点であるケース
両方を想定しています。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

質問１
２つの線分を重ねず一直線に並べたら（つなげたら）質問１と同じ状況になるでしょう。
全体を一つの線分にしてつなげた点を分点とみれば。よってt:1-tで表せます。
質問２
線分AOの長さをa、線分OBの長さをbとしましょう。長さの比はa:bです。
比ですから、同じ値で割っても同じです。a:b=a/(a+b):b/(a+b)
ところでb=(a+b)-aですから、b/(a+b)=((a+b)-a)/(a+b)=1-a/(a+b)
a/(a+b)=tと置けば、a:b=a/(a+b):b/(a+b)=t:1-t
ようは、全体を1と見たとき、一方がtなら,もう一方は1-tですよ。ということです。

外分点の場合は、実際に線分ABを二つに分けることができませんから、どちらかにマイナスの長さというものを想定します。

お礼

なるほど、確かにどちらの場合も表せますね！
よく分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

ShowMeHow

1も2も同じことだと思いますが、、、
（すべて線分として置き換えてください）

AO:OB
=AO:AB-AO
=AO/AB : AB/AB-AO/AB　　for all AB≠0

let t=AO/AB
⇒AO:OB = t:1-t

線分の合計が1だとすると、片方はｔ%で残りが（100-ｔ）％って事です。