【また】三角関数の極限値

質問

画像の（5）の極限値はなんで4になるのでしょうか？2倍角の公式を使っても答えが0になってしまうんですが・・・？

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

「1-（cosθ）^2はなんで（sinθ）^2になるのですか？」って言われると, ねぇ....
「1からやりなおせ」っていいたい.

どうして「半角の公式」と思ったんだろう.

お礼

今になって思い出しました。
（sinθ）^2+（cosθ）^2=1
をすっかり忘れていました。場違いな質問を二度もしてすいませんでした！精進します。

回答No.5

htms42

(1)は出来たのですね。
多分、「ｘ→０のとき、(sinｘ)/ｘ　→１」を使ったのだと思います。

そうであれば（５）もできるでしょう。
θsin(２θ)/(１－cosθ)＝[sin(２θ)/θ][θ^2/(１－cosθ)]＝[Ａ][Ｂ]
［Ａ］→２
［Ｂ］＝［θ^2/(２(sin(θ/2))^2)］→２

「答えが０になってしまいます」とギブアップしてしまうことはありません。
自分でおかしいと思う感覚が大事です。
多分あなたの場合、おかしいと思ったのは解答と合わないからという理由でしょう。
すでに自分でやった問題の結果と付き合わせておかしいと判断したというのではないでしょうね。

グラフ用紙にグラフを書いてみるとsinｘは原点の近くで直線になっていることが分かります。
（教科書の後ろに載っている三角関数表を見ながら点を打ってみて下さい。１０°以下ぐらいであれば「ずれはほとんど問題にならない」というのも分かるはずです。）
これは「ｙ＝sinｘはｙ＝ａｘと同じであると考えてよい」ということです。
この時、cosｘは（０，１）を通る、上に凸の放物線になります。
ｙ＝cosｘはｙ＝１－ｂｘ^2と同じになります。
これはsinｘが直線になることを認めれば自動的に出てきます。
ｂ＝ａ^2/２　であることも出てきます。
あなたはａの値を知っているのですからｂの値も分かるはずです。

お礼

迷惑かけて本当にごめんなさい！

回答No.4

info22_

>（5）の極限値はなんで4になるのでしょうか？
計算が間違ってるからじゃないですか？

>2倍角の公式を使っても答えが0になってしまうんですが・・・？
計算過程を補足に書いてもらえればチェックのしようもありますが？
どんな方法をとろうと計算間違いをしなければ正しい答えにたどり着けるはずです。
2倍角の公式sin(2θ)=2sinθcosθを使えば
与式=lim(θ→0) θ(2sinθcosθ)/(1-cosθ)
(1+cosθ)を分子、分母に掛けて
与式=lim(θ→0) 2θsinθcosθ(1+cosθ)/(1-cos^2θ)
=lim(θ→0) 2θsinθcosθ(1+cosθ)/sin^2θ
sinθで約分
与式=lim(θ→0) 2cosθ(1+cosθ)θ/sinθ
　　=lim(θ→0) 2cosθ(1+cosθ)(θ/sinθ)
　　=lim(θ→0) 2cosθ(1+cosθ) * lim(θ→0)(θ/sinθ)
　　=2*1*(1+1) * 1
=4
とちゃんと出てきます。

私なら#1さんの言われて見える半角の公式を使いますが…。
半角の公式sin^2(θ/2)=(1/2)(1-cosθ)を逆に使って
与式=lim(θ→0) θsin(2θ)*(1/2)/sin^2(θ/2)
=lim(θ→0) sin(2θ)/(2θ)*4{(θ/2)/sin(θ/2)}^2
=lim(θ→0) sin(2θ)/(2θ) * 4lim(θ→0){(θ/2)/sin(θ/2)}^2
=1 * 4*1^2
=4
他の方も別の求め方をして見えますが、求め方は異なっても答えと同じ「4」です。
計算間違いをしなければ正しい結果になると思うよ。

お礼

迷惑かけて本当にごめんなさい！

回答No.3

alice_44

倍角公式を使ったら、どうして 0 になったのか？
間違った計算の過程を知りたいですね。

極限の値は、sin と cos をテイラー展開すれば
判りますよ。
sin x = x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 - …
cos x = 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - …
より
θ sin(2θ) = 2θ^2 - (4/3)θ^4 + …
1 - cosθ = (1/2)θ^2 - (1/24)θ^4 + …　
を使って、
θ sin(2θ)/(1 - cosθ) = { 2 - (4/3)θ^2 + … } / { (1/2) - (1/24)θ^2 + … }.

ここで θ→0 とすれば、
θ sin(2θ)/(1 - cosθ) → 2/(1/2)　となります。

お礼

迷惑かけて本当にごめんなさい！

回答No.2

rnakamra

θsin2θ/(1-cosθ)
分母・分子に1+cosθをかける2倍角の公式を使うと

θsin2θ/(1-cosθ)=2θsinθcosθ(1+cosθ)/{1-(cosθ)^2}
=2θsinθcosθ(1+cosθ)/(sinθ)^2
=2θcosθ(1+cosθ)/sinθ
=2cosθ(1+cosθ)*(θ/sinθ)

ここでθ→0とすると*の前、後ろともに極限値がもとまります。それを掛け合わせればよい。

お礼

迷惑かけて本当にごめんなさい！

補足

1-（cosθ）^2はなんで（sinθ）^2になるのですか？半角の公式ですよね？

回答No.1

Tacosan

「2倍角の公式を使って」どうしたら 0 になったんでしょうか?

あと, 半角の公式は知ってますか?

お礼

迷惑かけて本当にごめんなさい！