数II三角関数の問題です。

質問

数II三角関数の問題です。

tanx/4=1 (-π＜x＜π)

答えは x=π

三角関数は大体理解できた
つもりなんですが、
-π＜x＜π
という範囲がわかりません。

基礎的なことで申し訳ないのですが、優しい方、説明していただけますか？

回答No.1

seuyu · ベストアンサー

πとは、「ラジアン」という単位を表しており、πラジアンが180度です。この表し方を弧度法といいます。
ですから、
-π＜ｘ＜π
というのは、
-180°＜ｘ＜180°を表します。
例えば、π/2は90°、2π/3は120°です。

しかし、この問題ではπが答えに含まれなくなってしまいますので、解けません。もしかしたら、右側の不等号に、「＝」が付いていませんか？

この問題は
まず、tanθ＝1となるようなθを探します。
θ＝45°、-45°、225°、…
となりますが、θ＝45°＝x/4のとき、満足するπの値が出るので、4倍して、ｘ＝180°つまり、ｘ＝π
となります。

お礼

わかりやすい説明
ありがとうございます！
不等号に=はついていません。
やはり解けませんよね。。。
先生がつくった問題なので
出題ミスでしょうか。

ちなみに、tanθ=1となるようなθに、
-45°
も含まれるのですか？
tan(-45°)= -1
ではないですか？

回答No.6

windows7

まず、定義域を考えましょう。
-π<x<π　の定義域ということは、度数法に直すと-180<x<180　になります。
計算方法は、(180/π) * (-π) = -180 ，πも同様に計算すれば180°どなる。

即ち、動径は第3象限から始まり(第3→第4→第1→第2)、第2象限まで戻ります。

此処で、単位円を描きます。単位円は、-1≦x≦-1，-1≦y≦1のx^2+y^2=1の円を描きます。つまり、半径1の円です。

tan(45°)=tan(π)=π.90°・270°(π/2，3π/2) は値を取り得ません。

拠って、加法定理を用いてπ/4 , 7π/4　の値を求めればいいので

tan7π/4(=tan(3π/4 +π)=tan(3π/4)　<0 のとき、
tan=-1　　即ち　-π
tan　π/4　>0　のとき、
tan=1　　 即ち　 π
途中式は画像で見てください。

定義域は-π＜x＜π　
より、答えは全て不一致。

一般解は、x=π/4 +nπ (n:整数。若しくは、2nπとも表記する)。

なんだかあって無いような気がしますが、一応書き残しときます・・・

回答No.5

seuyu

No3です。
補足についてですが、その考え方で問題ないと思います。
正しく書くならば、
θ/2＝π/4＋nπ
（nは整数）
θ＝π/2、5π/2…
条件に合うのは、π/2
だからθ＝π/2

ここで、nπとおくのは、tanθのグラフの周期が180°、すなわちπであるため、180°足す（引く）ごとに、式が成立するθの値が出るということです。

回答No.4

sanori

コメントにお答えします。

tan（θ/2)　＝　１
なので
θ／２　＝　π／４ ＋ ２ｎπ　または　θ　＝　－３π／４ ＋ ２ｎπ
（ｎは整数）

θ　＝　π／２ ＋ ４ｎπ　または　θ　＝　－３π／２ ＋ ４ｎπ

－π　＜　θ　＜　π　という条件なので、答えは
θ　＝　π／２
に限定されます。

回答No.3

seuyu

No1です。
-45°は含まれません。すいませんでした。

お礼

いえいえ
わかりやすい説明ありがとうございました！
大変参考になりました。

ちなみにもう一題似た問題がありまして、

tanθ/2=1 (-π＜θ＜π)

これは、tanθ=1になるのがθ=π/4、5π/4で

θ/2=π/4
θ=π/2
(-π＜θ＜πに含まれる)

θ/2=5π/4
θ=5π/2
(-π＜θ＜πに含まれない)

よってθ=π/2

という考え方であっていますか？

回答No.2

sanori

こんにちは。

－π　＜　ｘ　＜　π　　　・・・（あ）
の範囲には
ｘ　＝　π　　　・・・（い）
が含まれていませんので、
おそらく（あ）と（い）のどちらかが誤りです。

よろしければ、確認の上、補足欄に書いてください。

お礼

ありがとうございます。
確認しましたがこの通りでした。
先生作の問題なので出題ミスでしょうか？

同じような問題がもう一つあって、、、

tanθ/2=1 (-π＜θ＜π)

これは、tanθ=1になるのがθ=π/4、5π/4で

θ/2=π/4
θ=π/2
(-π＜θ＜πに含まれる)

θ/2=5π/4
θ=5π/2
(-π＜θ＜πに含まれない)

よってθ=π/2

という考え方であっていますか？

補足

確認しましたが、この通りでした。

お礼欄にかいてることについても教えていただけますか(>_<)