偏微分で混乱しています。

質問

偏微分の取り方についてよく分からないので質問させて頂きます。

例えば
x=vt+z

と言う関数があって、それをtに付いて偏微分したい場合
x_t=v

だと思ったのですが、 (x_t)はxのtに対しての偏微分
もしvは上の式から
v=(x-z)/t
とvもtに依存していて
さらにzとも同じくtに依存している気がします。

すると
x_t=(v_t)*t+v+(z_t)

となり
v_tを偏微分するにはxとzはtに依存しているので
v_t=x_t/t-x/t^2+...
となり
又x_tを求めるにはv_tが必要となり。。

と堂々めぐり
と訳のわからないようになってしまいます。
無論この計算の仕方は間違っていると言うのは分かるのですが、
一体何がどう間違っているのか分かりません。。。

どなたかご指摘頂ければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.5

stomachman

> x_t=(v_t)*t+v+(z_t)


それでいいんですよ。で、vやzやxに関する他の式なり条件なりが与えられない限り、（最初にお書きの式以外には何の情報もないのですから、関数vや関数zや関数xの正体はおろか、それらがどんな条件を満たすものであるかもまるっきり不明であり、だから）この式はこれ以上どうにもなりません。単に、「最初の式をひとつの解として持つ偏微分方程式」を書き下した、というだけのことであり、いじくり回したって堂々巡りになるのが正しいんです。

回答No.4

Knotopolog

x＝vt＋z
を t で偏微分すると，
x_t＝v　　　【 ただし，x_t は，t による x の偏微分 】
は，正しいです．
ここでは，暗黙の了解があります．つまり，v と z は，t の関数ではない，と言うことです．

もし，v と z が，t の関数であれば，x＝vt＋z の t による偏微分は，

x_t＝(v_t)t＋v＋z_t　　　　　【 ただし，v_t と z_t は，t による偏微分 】

となります．ですから，質問者さんが v＝(x－z)/t と変形するのが間違いなのです．

偏微分をする時には，x，v，z が，どういう変数（t など）の関数なのかを，しっかりと定義しておかなければなりません．

以上です．

回答No.3

aimi5296

簡単に何が違うのか説明すると（多少専門的ではないが、イメージで回答します）

全微分dz/dxと、偏微分∂z/∂xは根本的に違います。
●全微分は、空間の変化の仕方を見るものですが余り使わない！（簡単に言うと、空間図形の１つの点における接線を考えるが、接線は無数にあるのであまり考える意味が無い）
●偏微分は、x以外を定数としてみるので、xが動ける面で切断（スライス）した断面で考えるので、全く違います。（簡単に言うと、空間図形をスライスし、その断面で１点を通る接線を考える。当然は１つしか無いので考える事が出来る）

※全微分は空間で考える！偏微分は平面で考える！

※変数２個の時は２次元なので、全微分も偏微分も同じです。

※変数３個の時は３次元なので、全微分は、２つの変数に依存して１つに決まりませんが、
　偏微分は、平面として考えるので、変化の仕方を調べる事が出来ます。

あまり数学では、多変数関数の時は、全微分はしません、意味が無いから
普通は、スライスした平面で考えたいので、偏微分します。（１つの変数以外は定数として考える。）

回答No.2

spring135

話が全く逆です。

自分で扱っている関数の条件を把握せずに微分も積分もあったものではありません。

x=vt+z

v,zがtの関数であるのか否かは計算する前に確認しておくのが筋です。

回答No.1

asuncion

x = vt + z
をtについて偏微分する。
zはtに無関係な定数。
よって、
δx/δt = v