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実数の最大/小限、上/下界、上/下限についての問題
- 実数の最大/小限、上/下界、上/下限についての問題について説明します。
- 最大限と最小限の定義を示し、上界と下界の定義も説明します。
- また、上限と下限を導入し、定理４（２）の証明について触れます。
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- noname2727
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A⊆Rとする。 a = max A ：⇔ ∀r (r∈A ⇒ ∃a(a∈A ⇒ a≧r)) … aはAの最大限 a = min A ：⇔ ∀r (r∈A ⇒ ∃a(a∈A ⇒ a≦r)) … aはAの最小限 a∈ upp A ：⇔ ∀r (r ∈ A ⇒ ∃a(a∈R ⇒ a≧r)) … aはAの上界 a∈ low A ：⇔ ∀r (r ∈ A ⇒ ∃a(a∈R ⇒ a≦r)) … aはAの下界 supA ：= min upp A … Aの上限 infA ：= max low A … Aの下限 この定義はどういったことをあらわしているのですか？ a = max A ：⇔ ∀r (r∈A ⇒ ∃a(a∈A ⇒ a≧r)) この右側は r∈A ⇒ ∃a(a∈A ⇒ a≧r)) を満たすrなのですか？意味不明です。 Aの上界って ある ａ∈Ｒ が存在して、任意の ｘ∈Ａ に対し、ｘ≦ａ となるとする。 このときのaのことです。 上限は、そのaの最小値で今、a∈Aなので x≦a が任意のx∈A、あるa∈Aで成りたちます つまりaはAの最大限
補足
参考にしたのが先に提示しましたが http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/biseki/zyoukyu1.html だったので、ここから引き出しながら説明しましょうか。 >この定義はどういったことをあらわしているのですか？ 参考にしたサイトでは、 AをRの部分集合とする。 ・Aの最大の元を「Ａ の最大元」といい、maxAと表す。 ・Aの最小の元を「Ａ の最小元」といい、minAと表す。 ・あるa∈Rが存在して、任意のx∈Aに対し、x≦aとなるとする。このとき、aを「Aの上界」という。Aの上界全体の集合をU(A)(代りにuppAと書いています)と表す。 ・あるa∈Rが存在して、任意のx∈Aに対し、a≦xとなるとする。このとき、a を「Ａ の下界」という。Aの下界全体の集合をL(A)(代りにlowAと書いています)と表す。 ・U(A)の最小元を「Aの上限」といい、supAと表す。 ・L(A)の最大元を「Aの下限」といい、infAと表す。 と書いてあったので、『自分なりに「バカ正直に」“論理式”を書いた』だけです。左が“論理式”で、右がこの”概念”を表してますよ、って事です。 >この右側は r∈A ⇒ ∃a(a∈A ⇒ a≧r)) を満たすrなのですか？意味不明です。 これは http://www.geocities.jp/k27c8_math/math/relation/maximum_and_minimum_element.htm の一番下の「最大元・最小元の明確な定義」をいじった物です。自分はここの説明を、“あるa∈Aが在って任意のr∈Aに対してa≧r”の物を“最大元”と考えて、例の如く『自分なりに「バカ正直に」“論理式”を書いた』訳です。 >Aの上界って「ある ａ∈Ｒ が存在して、任意の ｘ∈Ａ に対し、ｘ≦ａ となるとする。このときのa」のことです。 って、a∈ upp A ：⇔ ∀r (r ∈ A ⇒ ∃a(a∈R ⇒ a≧r))そのものだと思うんですが。正直こういう式で日本語の文字が混ざると「論理」そのものがぼやけて困るんですよ。自分の書き方が意味不明ならば、あなたの判る書き方で、『∃や∀や⇒等を使った「論理式」』で書いてください。「論理式」の「意味」も「書き方」も分らない奴に教える感じで。
お礼
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/biseki/zyoukyu1.html の定理5(上限、下限の必要十分条件)を使えって事ですね。a=supAの条件にa∈Aを加えれば、a=maxAの条件と合致すると言う訳ですね。定理4の前に提示するべきだったと思います。悪かったのはサイトの定理の提示の順番と言う訳でしょうか。 >a=maxA：⇔（a∈A）∧（∀x∈A，x≦a） >a=supA：⇔（∀x∈A，x≦a ）∧（∀ε＞0，∃x∈A s.t. a - ε＜x） をもっとしつこく書いてみます。 a=maxA ：⇔ ∃a(a∈A ∧∀x(x∈A ⇒ x≦a)) a=supA ：⇔ ∃a(a∈R ⇒ (∀x(x∈A ⇒ x≦a)∧∀ε(ε＞0 ⇒ ∃x(x∈A ∧ a -ε＜x)))) になると思います。ここでは"，"を"⇒"、"s.t."を"∧"と変えただけです。"s.t"こと"such that"は、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1312367848 で『もっと簡単に「ただし」でもいいでしょうね』と書いてあったので連言にしてみました。 もっと肝心な事なのですが、なぜ論理式にこだわるかと言うと、 http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/lecture/18/yougo2006.pdf でも書いてある通り、論文などのフォーマルの場で論理式(いわゆる略記)で書くと論文として認識されないみたいですね。文章で書き表す事になるでしょう。学会の方々は定理などを文章で覚え、「決まり文句」として認識/共有するなどの「暗黙の了解」があるのでしょう。 でも、道を目指す「初級者」にとっては、フォーマルの場における「暗黙の了解」の中に「落とし穴」があると思います。「文章」は「数式」や「論理式」では無い為、肝心の「論理的にどうなってるの？」と言う所が見えにくくなります。しかも学会では文章で書いてあっても「論理的にどうなってるの？」と言う所は「知っている物」とされる為、厳密な箇所が隠蔽される可能性が高くなる。 「バカ正直な」論理式の記法を覚える必要はあると思います。フォーマルでは通用しないけど練習や質問だったら積極的に使っていけるし、必要があれば後で肉付けして合わせれば良い話。それに論理式の記法が正しく書けなければ文章で書いてもおかしくなる筈。論理式だったら間違いがあったり怪しい所があればはっきり出るので正しく書こうという癖が付くと思うんです。 文章の形式と論理式の形式は丁度C/C++とアセンブリ言語の関係だと思います。以上駄文。