y' = f(y/x)の解

質問

詳解 物理応用 数学演習という本を独学しています。

y' = f(y/x)の解き方が掲載されているのですが、なぜdv / (f(v) - v)の積分が解となるのかがよく理解できませんでした。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

v = y/x
　y = xv
これを、xで微分すると、
　y' = (xv)' = v + xv' = f(y/x) = f(v)
　xv' = f(v) - v
　v' = (f(v)-v)/x
　dv/dx = (f(v)-v)/x
　dv/(f(v)-v) = dx/x
これを積分すると、
　∫dv/(f(v)-v) = ∫dx/x

左辺はf(v)の具体的な関数が与えられないと、この積分はできないので、
　g(v) = ∫dv/(f(v)-v)
と置いた。
でも、右辺は簡単に積分できるので、
　∫dx/x = log(x) + c
だから、
　g(v) = log(x) + c
v= y/xだから、
　g(y/x) = log(x) + c

こんな感じです。

お礼

回答ありがとうございます。

f(v)の積分（左辺）が解けないため、1/xの積分 (右辺)を解く、ということですね。

理解できました。