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cos(arcsinx) = sqrt(1-xx)
cos(arcsin x) = sqrt(1 - x*x) ここでsqrtは√の計算です。 応用物理 数学演習という本を独学していて上記の式が気になりました。 自分では導出できなかったので、ヒントもしくは解答を教えていただければと思います。
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- shuu_01
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＞ θ=arcsin(x) ...(1)とおくと ＞ -π/2≦θ≦π/2 ...(2) あっ！ 定義域に制限あるの、全然 知りませんでした！ 習ったのかなぁ？ 全然、記憶にない Wikipedia 三角関数 http://ja.wikipedia.org/wiki/三角関数 逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin－1 x を arcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を 「下図参照」 のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin－1 x, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ だそうです 普通、arcsin の場合は -π/2≦θ≦π/2 、arccos の場合は 0 ≦θ≦π で考えるのですね でも、今回は ”Arccos” のように頭文字が大文字になってないから、 ギリギリ セーフ？ アウト？
お礼
再々度の補足までありがとうございます。 Arccosでないから、多分セーフでしょう！ 色々勉強になりました。
- info22_
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arcsin(x)の定義から -π/2≦arcsin(x)≦π/2 なので θ=arcsin(x) ...(1)とおくと -π/2≦θ≦π/2 ...(2) また x=sinθ ...(3) (1),(2)から cosθ=cos(arcsin(x))≧0 ...(4) 公式 sin^2(θ)+cos^2(θ)=1 より cos^2(θ)=1-sin^2(θ) (3)より cos^2(θ)=1-x^2 (4)より cosθ=sqrt(1-x^2)=√(1-x^2) (1)より ∴cos(arcsin(x))=sqrt(1-x^2)=√(1-x^2)
お礼
ありがとうございます。 定義域を考えることでcosの二乗からcosの一乗の値が決まるのですね。 勉強になりました。
- shuu_01
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cos^2 θ ＋ sin^2 θ ＝ 1 arcsin x ＝ θ と置くと cos^2 （arcsin x） ＋ sin^2（arcsing x） ＝ 1 定義から sin（arcsin x） ＝ x なので cos^2 （arcsin x） ＋ x^2 ＝ 1 cos^2 （arcsin x） ＝ 1 - x^2 cos （ arcsin x ） ＝ ±√（1 - x^2） ← あ、また ケアレスミスを訂正しました
お礼
訂正ありがとうございます。
- shuu_01
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cos^2 θ ＋ sin^2 θ ＝ 1 arcsin x ＝ θ と置くと cos^2 （arcsin x） ＋ sin^2（arcsing x） ＝ 1 定義から sin（arcsin x） ＝ x なので cos^2 （arcsin x） ＋ x^2 ＝ 1 cos^2 （arcsin x） ＝ 1 - x^2 cos^2 （ arcsin x ） ＝ ±√（1 - x^2）
お礼
再度の回答ありがとうございます。 今度は図でなく、式変形から導出されておりますが、こちらもわかりやすいです。
お礼
ありがとうございます。 図式していただき、しっかりわかりました！ 感謝いたします。