y=xは当たり前だとは思いますが・・・

質問

ここで質問させていただいたことから出てきた疑問なのですが，関数ｙ＝ｆ（ｘ）のｘにｆ（ｘ）をいれた場合に，ｙ＝ｘとなる場合とｙ＝ｘ＾２のようにｙ＝ｘ＾４となって発散？するものがあります。ｙ＝sinxのように収斂?するものもあります。またｙ＝iｘでは4回目にｙ＝ｘとなるものなどがありますが、ｘをｙと同じと置けばｙ＝ｘとなるのは当たり前のようですが，関数によっては様子が違うものがあるようですが，これは数学的には何か意味があることなのでしょうか。

回答No.3

kansai_daisuki · ベストアンサー

>単なる級数じゃないですか？

すみません。
級数ではなくて数列でしたね。
今見て、自分で自分に突っ込んでしまいました。

>ここで、級数の初項がy=xの直線よりも、
>上にあるならば発散。
>下にあるならば収束。

これも、「関数が実数のみを扱う」という条件付でした。

また、
>ｙ＝ｘ＾２
ならば、a_(n+1)=a_(n)^2
>ｙ＝sinx
ならば、a_(n+1)=sin(a_(n))
>ｙ＝iｘ
ならば、a_(n+1)=i×(a_(n))

ですよね。

　だから、一番目の式では、初項がy=xよりも上にあっても、
a_(n)＞１でないと、発散しません。

（すみません。No.1は、昼休み中だったので、考慮が浅すぎました。）

お礼

ご訂正有難うございました。私は無限に繰り返すと何か微分か何かと関係ができないかと思っているのですが・・・勉強させてください。

回答No.5

higenotojo

No.4です。
最初にｘの値として例えば１０をいれてみてください。ｙ＝３６になります。ｘ＝３６をいれるとｙ＝９２．１６になります。繰り返していっても、無限大に発散するわけでも、収斂するわけでも有りません。
この数式に、初期値として２つのわずかに違う数値をいれてみてください。表計算ソフト等を使って実際に計算してみることをお薦めします。初期値はわずかな違いでも、数回繰り返しただけで、答えが全く違ってくるのが分かると思います。これが「カオス」と呼ばれるものです

お礼

早速どうもありがとうございます。自分の内部論理が作り出す相手を自分とみなして、さらに・・というのは思考過程そのもののようです。カオスには他の様式もあるのでしょうか。

回答No.4

higenotojo

y=-1/25*(x-50)^2
で初期値を 0<x<100 とすると面白い結果が得られます。お試し下さい。
「カオス」です。

お礼

ご教示有難うございます。出来れば具体的にご指示いただけませんか。カオスとの関係もよくわかりません！！

回答No.2

proto

y=f(f(f(f(x))))と考えるより
x0=x
x(n+1)=f(x(n))
と数列で考える方が自然ではないでしょうか

f(x)=xならば
x(n)=x
lim[n→∞]x(n)=x

f(x)=x^2ならば
x(n)=x^(2^n)
lim[n→∞]x(n)=0 (|x|<0) , 1 (x=1) , +∞　(x>1)
となります

お礼

ご教示有難うございます。勉強させてください。

回答No.1

kansai_daisuki

単なる級数じゃないですか？
ここで、級数の初項がy=xの直線よりも、
上にあるならば発散。
下にあるならば収束。

　個々の級数の中には、理工業的に応用できる（or　している）級数もあるかもしれませんが、「任意の級数を作れば、その全てが理工業的に応用できるか？」と言われれば、そこまでは行かないでしょうね。

（※昼は時間が無いので、これ以上の考察をしていません。これ以上については、他の方の助言が載れば聞いてください。）

お礼

ご教示有難うございます。私は記号で表すと、
Y=f(f(f(f(x)))のようになるかと思っているのですが・・・